Середнє арифметико-геометричне

Середнє арифметико-геометричне — це спільна границя двох послідовностей, середньої арифметичної та середньої геометричної двох заданих чисел a та b.

Доведення

Нехай нам задано два додатних числа a та b, причому (${\displaystyle a>b}$). Утворимо їх середнє арифметичне та середнє геометричне.

${\displaystyle a_{1}={\tfrac {a+b}{2}},\qquad b_{1}={\sqrt {ab}}}$

Відомо, що перше середнє більше за друге:

${\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}}-{\sqrt {ab}}={\tfrac {1}{2}}(a-2{\sqrt {ab}}+b)={\tfrac {({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})^{2}}{2}}>0}$

В той же час, вони містяться між заданими числами:

${\displaystyle \ a>a_{1}>b_{1}>b}$

Якщо числа ${\displaystyle a_{n}}$ та ${\displaystyle b_{n}}$ вже визначені, то ${\displaystyle a_{n+1}}$ та ${\displaystyle b_{n+1}}$ визначаються за формулами:

${\displaystyle a_{n+1}={\tfrac {a_{n}+b_{n}}{2}},\qquad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}}$

і, як і вище, ${\displaystyle a_{n}>a_{n+1}>b_{n+1}>b_{n}}$

Таким чином складаються дві варіанти ${\displaystyle a_{n}}$ та ${\displaystyle b_{n}}$, перша з яких є спадною, а інша зростаючою (на зустріч одна одній). В той же час

${\displaystyle \ a>a_{n}>b_{n}>b}$

Так що обидві варіанти обмежені, і відповідно, обидві прямують до кінцевих границь.

${\displaystyle \alpha =\lim a_{n},\qquad \beta =\lim b_{n}}$

Якщо в рівнянні

${\displaystyle a_{n+1}={\tfrac {a_{n}+b_{n}}{2}}}$

перейти до границь, то отримаємо

${\displaystyle \alpha ={\tfrac {\alpha +\beta }{2}}}$

звідкіля

${\displaystyle \ \alpha =\beta }$

Таким чином, обидві послідовності прямують до спільної границі ${\displaystyle \mu (a,b)}$

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)