Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Росток об'єкта на топологічному просторі висловлює локальні властивості об'єкта. У певному сенсі можна сказати, що це новий об'єкт, який переймає лише локальні властивості об'єкта, що його породив (найчастіше в ролі таких об'єктів виступають відображення). Очевидно, що різні функції можуть задавати один і той же росток. У такому випадку всі локальні властивості (неперервність, диференційовність і т. д.) у таких функцій збігаються і достатньо розглядати властивості не самих функцій, а лише їх ростків.
Нехай є задана точка топологічного простору і два відображення в деяку множину . Тоді кажуть, що і належать одному й тому ж ростку в точці , якщо є такий окіл точки , для якого обмеження функцій і на збігаються. Тобто,
(Тобто ).
Очевидно, що відношення належності до одного ростка в точці є відношенням еквівалентності. Це відношення записується як . Зазвичай його позначають
Залежно від класу регулярності функцій можна розглядати і відповідні класи регулярності ростків — ростки неперервних функцій, ростки диференційовних функцій, ростки аналітичних функцій, ростки постійних функцій. Також поняття ростка поширюється на векторні поля, диференціальні форми і інші подібні об'єкти.
Аналогічно дві підмножини визначають один і той же росток в , якщо існує окіл точки , такий що:
Росток, що задається множиною , позначають . Відношення належності до одного ростка позначається як .
Дві множини належать одному ростку множин тоді і тільки тоді коли їх характеристичні функції належать одному ростку функцій:
Якщо f і g належать одному ростку в точці x, тоді всі локальні властивості в них однакові, зокрема неперервність, диференційовність, аналітичність і т. д., Тому можна визначати неперервні чи диференційовні ростки в точці.
Якщо множина Y є векторним простором, тоді можна визначати суму ростків і множення на скаляр: для визначення [f]x + [g]x, спершу треба взяти представники ростка f і g, визначені в околах U і V, тоді [f]x + [g]x є ростком в точці x відображення f + g (де f + g визначене на ). Подібно a[f]x є ростком відображення af для деякого скаляра a.
Якщо на множині Y визначено множення то аналогічно до попереднього можна визначити множення ростків. Зокрема для дійснозначних чи комплекснозначних функцій можна визначити алгебру ростків в деякій точці.
Якщо і мають додаткову структуру, можна визначити окремі важливі класи ростків функцій.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.