Loading AI tools
метод спрощення рівнянь З Вікіпедії, вільної енциклопедії
У математиці метод позбавлення від знаменників, також званий позбавленням від дробів — техніка спрощення рівняння, в якому прирівнюються два вирази, кожен з яких є сумою раціональних виразів, включно зі звичайними дробами.
Розглянемо рівняння
Найменше спільне кратне двох знаменників і дорівнює , тому обидві частини множимо на :
Результатом є рівняння без дробів.
Спрощене рівняння не зовсім еквівалентне початковому: коли в останнє рівняння підставити і , обидві частини спрощуються до , тому отримуємо правильну рівність . Але така ж заміна, застосована до початкового рівняння, призводить до , що не має сенсу.
Без втрати загальності[en] можна вважати, що права частина[en] рівняння дорівнює 0, оскільки рівняння E1 = E2 можна еквівалентно переписати у вигляді E1 − E2 = 0.
Отже, нехай рівняння має вигляд
Першим кроком є визначення спільного знаменника D цих дробів — бажано найменшого спільного знаменника, який є найменшим спільним кратним Qi.
Це означає, що кожен Qi є множником D, тому D = RiQi для деякого виразу Ri, який не є дробом. Потім
за умови, що RiQi не набуває значення 0 — у цьому випадку D також дорівнює 0.
Маємо
За умови, що D не набуває значення 0, останнє рівняння еквівалентне
у якому знаменники відсутні.
Як показано вище, слід бути уважним, щоб уникнути сторонніх розв'язків[en], за яких D перетворюється на нуль.
Розглянемо рівняння
Найменший спільний знаменник дорівнює x(x + 1)(x + 2).
Дотримання методу, описаного вище, приводить до
Подальше спрощення дає розв'язок x = −3.
Легко перевірити, що жоден із нулів x(x + 1)(x + 2) — а саме x = 0, x = −1 та x = −2 — не є розв'язком остаточного рівняння, тому хибних розв'язків немає.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.