Узагальненням визначеного інтеграла на випадок, коли областю інтегрування є деяка крива, буде так званий криволіні́йний інтегра́л.
Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини l. Роздивимось неперервну функцію f(x;y), задану в точках дуги AB. Розіб'ємо криву AB точками M0=A, M1, M2,…, Mn=B на n довільних дуг Mi-1Mi з довжинами відповідно Δli (i=1; 2;…; n).
Виберемо на кожній дузі Mi-1Mi довільну точку (xi; yi) і складемо суму
.
Її називають інтегральною сумою для функції f(x;y) по кривій AB.
Нехай
— найбільша із довжин дуг поділу. Якщо
(
) існує скінченна границя інтегральних сум, то її називають криволінійним інтегралом від функції f(x;y) по довжині кривої AB, або криволінійним інтегралом I роду від функції f(x;y) по кривій AB і позначають
або
.
Таким чином, за означенням
.
Теорема про існування криволінійного інтеграла I роду
Якщо функція
неперервна в кожній точці гладкої кривої (в кожній точці
існує дотична до даної кривої і її положення неперервно змінюється при переміщенні точки по кривій), то криволінійний інтеграл I роду існує і його величина не залежить ні від способу розбиття кривої на частини, ні від вибору точок на них.
Властивості криволінійного інтеграла I роду
.
, тобто криволінійний інтеграл I роду не залежить від напрямку інтегрування.
.
, тобто сталий множник можна виносити за знак інтеграла.
.
, тобто інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів.
.
, якщо шлях інтегрування
розбито на частини
і
такі, що
і
та
мають єдину спільну точку.
. Якщо для точок кривої
виконується нерівність
, то ![{\displaystyle \int _{L}f_{1}(x;y)\,dl\leq \int _{L}f_{2}(x;y)\,dl}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d06c4e441f3ed926035a475320d35acfa01091db)
.
, де
- довжина кривої
.
. Якщо функція
неперервна на кривій
, то на цій кривій знайдеться точка
така, що
(теорема про середнє).
Обчислення криволінійного інтеграла I роду
Параметричне задання кривої інтегрування
Нехай в тривимірному просторі задана гладка дуга
в параметричному вигляді:
,
тобто
,
,
є неперервними на ;\beta ]}
. То криволінійний інтеграл 1 роду по даній кривій:
![{\displaystyle \int _{L}^{}f(x,y,z)\,dl=\int _{\alpha \ }^{\beta \ }f(x(t),y(t),z(t)){\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}}\,dt}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda82f35c34fbc048472a96dffa0830b81979386)
Для двовимірного випадку:
![{\displaystyle \int _{L}^{}f(x,y)\,dl=\int _{\alpha \ }^{\beta \ }f(x(t),y(t)){\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\,dt}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f45f51affc915f2ba286ddcc950efb4b5d75a5d5)
Явне задання кривої інтегрування
Явне задання кривої:
,
: f x y dl f x y x y x dx
Полярне задання кривої інтегрування
Нехай в полярній системі координат крива задана функцією
![{\displaystyle \rho \ =\rho \ (\phi \ ),\phi _{1}\ \leq \ \phi \ \leq \ \phi _{2}\ }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08105a2401af63714164ab3647e52d21b414b4e8)
То криволінійний інтеграл 1-го роду по даній кривій:
![{\displaystyle \int _{L}^{}f(x,y)\,dl=\int _{\phi _{1}\ }^{\phi _{2}\ }f(\rho \ (\phi \ )cos\phi \ ,\rho \ (\phi \ )sin\phi \ ){\sqrt {\rho ^{2}\ +(\rho \ '(\phi \ ))^{2}}}\,d\phi \ }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf7dbebd35f1aac79c838e0e5ca8859a5d3e1d76)
Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини і функція P(x;y), визначена в кожній точці кривої. Розіб'ємо криву AB точками M0=A, M1, M2,…, Mn=B в напрямі від точки A до точки B на n довільних дуг Mi-1Mi з довжинами відповідно Δli (i=1; 2;…; n).
Виберемо на кожній елементарній дузі Mi-1Mi довільну точку (xi; yi) і складемо суму
,
де
— проєкція дуги Mi-1Mi на вісь Ox.
Таку суму називають інтегральною сумою для функції P(x;y) по змінній x.
Нехай
— найбільша із довжин дуг поділу. Якщо
(
) і існує скінченна границя інтегральних сум, що не залежить від способу розбиття кривої AB і вибору точок (xi;yi), то її називають криволінійним інтегралом по координаті x (або II роду) від функції P(x;y) по кривій AB і позначають
або
.
Таким чином, за означенням
.
Аналогічно виводиться інтеграл від функції Q(x;y) по координаті y:
,
де
— проєкція дуги Mi-1Mi на вісь Oy.
Криволінійний інтеграл II роду в загальному вигляді на площині:
![{\displaystyle \int _{AB}P(x;y)\,dx+Q(x;y)\,dy=\int _{AB}P(x;y)\,dx+\int _{AB}Q(x;y)\,dy}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c225f7db0b28e4cd795f6a993b0db14e6c47de)
Криволінійний інтеграл II роду по кривій в тривимірному просторі визначається аналогічно:
![{\displaystyle \int _{AB}P(x;y;z)\,dx+Q(x;y;z)\,dy+R(x;y;z)\,dz}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14acd5e62628ac13b5cc5e0c87354915834ea928)