Унітарний простір

Векторний простір ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$ називається унітарним, якщо кожній парі векторів ${\displaystyle (\mathbf {a,b} )}$ з ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$, взятих у визначеному порядку, поставлено у відповідність деяке число з ${\displaystyle \mathbb {K} }$, що називається скалярним добутком ${\displaystyle \langle \mathbf {a|b} \rangle }$ вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на вектор ${\displaystyle \mathbf {b} }$ та має такі властивості:

1. ${\displaystyle \langle \mathbf {a|b} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {b|a} \rangle }}}$;
2. ${\displaystyle \langle \alpha \mathbf {a|b} \rangle =\alpha \langle \mathbf {a|b} \rangle }$ для довільних ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} }$;
3. ${\displaystyle \langle \mathbf {a+b|c} \rangle =\langle \mathbf {a|c} \rangle +\langle \mathbf {b|c} \rangle }$;
4. ${\displaystyle \langle \mathbf {a|a} \rangle \geq 0,\quad \langle \mathbf {a|a} \rangle =0\iff \mathbf {a} =\mathbf {o} }$.

Аби розрізняти унітарний та евклідів простір, для скалярного добутку в унітарному просторі часто вживаються кутові дужки ("брекети"): ${\displaystyle \left\langle \ \right\rangle }$.

Поняття унітарного простору є аналогом евклідового простору.

Унітарні простори зазвичай скінченновимірні. У нескінченновимірному випадку розглядаються натомість гільбертові простори. Поняття ермітового простору припускає алгебричне узагальнення, яке застосовується у теорії груп, дискретній математиці і теорії кодування.

Приклади унітарного простору

Простір ${\displaystyle n}$-вимірних стовпчиків ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{Vmatrix}\zeta _{1}\\\zeta _{2}\\...\\\zeta _{n}\end{Vmatrix}},\;\;\mathbf {b} ={\begin{Vmatrix}\eta _{1}\\\eta _{2}\\...\\\eta _{n}\end{Vmatrix}},}$ де ${\displaystyle \zeta _{i},\eta _{i}\!}$ - комплексні числа, ${\displaystyle i=1,...,n}$.

Скалярний добуток ${\displaystyle \langle \mathbf {a|b} \rangle =\sum _{i=1}^{n}\zeta _{i}{\overline {\eta _{i}}}}$.

Виявляється, що будь-який ${\displaystyle n}$-вимірний унітарний простір ${\displaystyle H\!}$ є ізоморфним до ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Цей ізоморфізм досягається обранням ортонормального базису в ${\displaystyle H\!.}$

Узагальнення

Унітарний простір є частковим випадком гільбертового простору, а саме, він є комплексним гільбертовим простором.

І саме така назва є поширенішою в сучасній літературі.

В сучасній абстрактній алгебрі розглядаються векторні простори над довільними полями.

Припустимо, що на полі ${\displaystyle E}$ задана нетривіальна інволюція, тобто автоморфізм порядка ${\displaystyle 2}$: ${\displaystyle \sigma \colon E\to E,\;\sigma ^{2}=Id,\;\sigma \neq Id,}$ з інваріантним підполем ${\displaystyle F=E^{\sigma }.}$ Якщо уявити собі, що поле ${\displaystyle E}$ аналогічне до поля комплексних чисел, інволюція ${\displaystyle \sigma }$ — це комплексне спряження, тоді поле ${\displaystyle F}$ аналогічне до поля дійсних чисел. Можна розглянути векторний простір ${\displaystyle V}$ над ${\displaystyle E}$ з сесквілінійною невиродженною ермітовою ${\displaystyle E}$-значною формою

${\displaystyle V\times V\to E,\quad u,v\mapsto (u,v),\quad (v,u)=(u,v)^{\sigma }}$.

Такий простір називається псевдоермітовим векторним простором над ${\displaystyle E}$. Якщо на додаток ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {C} ,\sigma }$ є звуженням комплексного спряження на ${\displaystyle E}$ і ермітова форма позитивно-визначена, тобто ${\displaystyle (v,v)\in F=E^{\sigma }\subseteq \mathbb {R} }$ — додатне число для будь-якого ненульового ${\displaystyle v\in V,}$ то ${\displaystyle V}$ називається ермітовим векторним простором над ${\displaystyle E}$. Ще більше узагальнення можна отримати, якщо замінити поле ${\displaystyle E}$ на (некомутативну) алгебру з інволюцією ${\displaystyle D}$ над ${\displaystyle E}$ і розглянути лівий ${\displaystyle D}$-модуль замість векторного простору ${\displaystyle V.}$

Викладена вище конструкція використовується у теорії алгебраїчних груп для винаходження аналогів комплексної унітарної групи над полем ${\displaystyle E.}$ А саме, слід розглянути групу ізометрій (псевдо)ермітового простору ${\displaystyle V,}$ тобто множину обертованих лінійних перетвореннь ${\displaystyle g:V\to V,}$ які не змінюють форму, тобто виконується ${\displaystyle (gu,gv)=(u,v)}$ для будь-яких ${\displaystyle u,v\in V.}$ У такий спосіб будується сімейство близьких до простих алгебраїчних груп над полем ${\displaystyle E.}$ Зокрема, для скінченого поля ${\displaystyle E}$ отримуємо одне з нескінчених сімейств скінчених простих груп. Цікаво відзначити, що ця нібито абстрактна конструкція має несподіванне застосування у дуже прикладній теорії кодування, в контексті алгебро-геометричних кодів. Різноманітні геометричні об'єкти пов'язані з ермітовими просторами над скінченими полями викликають неабиякий інтерес у дискретній математиці.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)