Розглянемо випадок n = 4, з цього прикладу легко буде зрозуміти, що являє собою довільна група кіс. Розглянемо дві паралельні прямі (на малюнку вони розташовані вертикально), на кожній з яких лежить по чотири пронумеровані точки, так що точки з однаковими номерами знаходяться одна проти одної. Розіб'ємо точки на пари і за допомогою ниток з'єднаємо їх. Якщо зобразити картинку на площині, деякі нитки можуть під іншими (можна вважати, що нитки завжди перетинаються трансверсально). При цьому важливо враховувати порядок проходження ниток у точці перетину:
відрізняється від
З іншого боку, дві такі конфігурації, які можна зробити однаковими, переміщенням ниток, що не зачіпає кінцеві точки, ми вважатимемо однаковими:
не відрізняється від
Всі нитки повинні бути напрямлені зліва направо, тобто кожна з ниток може перетинати вертикальну пряму (паралельну до прямих з пронумерованими точками) не більше ніж в одній точці:
не є косою.
Для двох кіс можна розглянути їх композицію, намалювавши другу поряд з першою, тобто склеївши відповідні чотири пари кінцевих точок:
×
=
Множину всіх кіс із 4 ниток позначають B4. Описане з'єднання ниток є груповою операцією.
Група B4— це фактор-множина всіх таких конфігурацій на чотирьох парах точок за відношенням еквівалентності, заданим неперервними перетвореннями площини, на якому зазначеним вище способом задано групову операцію. Ця операція задовольняє всім аксіомам групи; зокрема, нейтральний елемент— клас еквівалентності чотирьох паралельних ниток і для кожного елемента обернений до нього можна отримати симетрією відносно вертикальної прямої.
Строго формалізувати наведений вище опис можна кількома способами:
Геометричний спосіб використовує поняття гомотопії, а саме, Bn визначається як фундаментальна група простору n-точкових підмножин на площині з природною топологією.
Наприклад, Bn можна задати (n − 1) твірною і співвідношеннями:
:}
Зокрема, будь-який елемент B4 можна записати як композицію таких трьох елементів (і обернених до них):
σ1
σ2
σ3
Щоб зрозуміти, чому це інтуїтивно очевидно, «проскануємо» картинку, переміщуючи вертикальну пряму зліва направо. Кожен раз, коли i-а зверху (на даній прямій) нитка проходить під (i + 1)-ю, будемо писати σi, а якщо над (i + 1)-ю, то σi−1.
Очевидно, що виконується співвідношення σ1σ3 = σ3σ1, тоді як трохи складніше побачити, що σ1σ2σ1 = σ2σ1σ2 (переконатися в цьому найпростіше, намалювавши лінії на аркуші паперу).
Можна довести, що всі співвідношення між елементами групи кіс випливають зі співвідношень такого вигляду.
Всі елементи Bn, крім нейтрального, мають нескінченний порядок; тобто Bn не має кручення.
Існує сюр'єктивний гомоморфізмBn → Sn з групи кіс у групу перестановок. Дійсно, кожному елементу групи Bn можна зіставити перестановку множини n вершин, за якої лівому кінцю кожної «нитки» зіставляється правий її кінець.
Ядро цього гомоморфізму називається групою фарбованих кіс, вона зазвичай позначається .
Групу кіс можна визначити як групу класів відображень диска з виколотими точками. Точніше, група кіс із n нитками природним чином ізоморфна групі класів перетворень диска n виколотими точками.
Волошина Т.В. Групи кіс, способи їх задання та застосування / Т.В. Волошина, Б.Б. Кочулап // Збірник тез IX Міжнародної науково-практичної конференції «Математика. Інформаційні технології. Освіта». – Луцьк, 2020. – С. 11-13.