Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Ідеальна кільцева в'язанка (ІКВ) — це циклічна послідовність ( ,,…,) чисел, на якій всі можливі кільцеві суми вичерпують значення чисел натурального ряду від 1 до S n=n(n — 1). Винахід пана Володимира Різника.
Ця стаття може містити оригінальне дослідження. (березень 2011) |
Кільцевою сумою називається сума будь-якої кількості (від 1 до n-1) послідовно розміщених елементів циклічної n-послідовності. Наприклад, циклічна послідовність (1,3,2,7), що на рис. 1, є ідеальною кільцевою в'язанкою, оскільки чотири (n=4) її елементи перелічують всі числа натурального ряду від 1 до , утворених рівно одним (R=1) способом обрання початкового та останнього елементів цієї послідовності, що додаються:
1, |
2, |
3, |
4=1+3, |
5=3+2, |
6=1+3+2, |
7, |
8=7+1, |
9=2+7, |
10=2+7+1, |
11=7+1+3, |
12=3+2+7, |
13=1+3+2+7. |
Цей ряд можна продовжити, обираючи перший елемент для початку відліку та обходячи кільцеву схему більше одного разу, наприклад: 15=2+7+1+3+2 тощо.
Повні сім'ї деяких ІКВ для n ≤ 13
n | R | ІКВ |
---|---|---|
4 | 1 | 1 3 2 7 1 2 6 4 |
4 | 2 | 1 1 2 3 |
5 | 1 | 1 3 10 2 5 |
5 | 2 | 1 1 2 3 4 |
6 | 1 | 1 2 5 4 6 13 1 2 7 4 12 5 1 3 2 7 8 10 1 3 6 2 5 14 1 7 3 2 4 14 |
6 | 3 | 1 1 2 1 2 4 |
7 | 3 | 1 1 2 1 3 2 5 |
8 | 1 | 1 2 10 19 4 7 9 5 1 3 5 11 2 12 17 6 1 3 8 2 16 7 15 5 1 4 2 10 18 3 11 8 1 6 12 4 21 3 2 8 |
8 | 4 | 1 1 1 2 2 1 3 4 |
9 | 1 | 1 2 4 8 16 5 18 9 10 1 4 7 6 3 28 2 8 14 1 6 4 24 13 3 2 12 8 1 11 8 6 4 3 2 22 16 |
9 | 2 | 1 2 4 10 7 1 4 6 2 1 25 4 2 3 1 12 7 |
9 | 4 | 1 1 1 2 2 5 1 3 3 |
9 | 6 | 1 1 1 1 1 2 2 1 3 1 1 1 1 2 1 1 3 2 |
10 | 1 | 1 2 6 18 22 7 5 16 4 10 1 3 9 11 6 8 2 5 28 18 1 4 2 20 8 9 23 10 3 11 1 4 3 10 2 9 14 16 6 26 1 5 4 13 3 8 7 12 2 36 1 6 9 11 29 4 8 2 3 18 |
10 | 5 | 1 1 1 2 2 5 1 2 1 3 |
11 | 5 | 1 1 1 2 2 1 3 1 3 2 6 |
12 | 1 | 1 2 9 8 14 4 43 7 6 10 5 24 1 2 12 31 25 4 9 10 7 11 16 5 1 2 14 4 37 7 8 27 5 6 13 9 1 2 14 12 32 19 6 5 4 18 13 7 1 38 9 5 19 23 16 13 2 28 6 1 3 12 34 21 2 8 9 5 6 7 25 1 3 23 24 6 22 10 11 18 2 5 8 1 4 7 3 16 2 6 17 20 9 13 35 1 4 16 3 15 10 12 14 17 33 2 6 1 4 19 20 27 3 6 25 7 8 2 11 1 4 20 3 40 10 9 2 15 16 6 7 1 5 12 21 29 11 3 16 4 22 2 7 1 7 13 12 3 11 5 18 4 2 48 9 1 8 10 5 7 21 4 2 11 3 26 35 1 14 3 2 4 7 21 8 25 10 12 26 1 14 10 20 7 6 3 2 17 4 8 41 1 15 5 3 25 2 7 4 6 12 14 39 1 22 14 20 5 13 8 3 4 2 10 31 |
12 | 6 | 1 1 1 1 2 2 1 3 1 3 2 5 |
13 | 4 | 1 1 2 1 3 5 1 3 2 5 2 8 6 1 1 3 7 6 4 2 2 1 2 3 1 7 |
Циклічна послідовність (1,1,2,3) є також ідеальною кільцевою в'язанкою, оскільки чотири (n=4) її елементи перелічують всі числа натурального ряду від 1 до , утворених рівно двома (R=2) різними способом обрання початкового та останнього елементів цієї послідовності:
1, 1 |
2, 2=1+1 |
3, 3=2+1 |
4=3+1, 4=1+1+2 |
5=2+3, 5=3+1+1 |
6=1+2+3, 6=2+3+1 |
Окрім того, з ІКВ, наприклад, з (1, 3, 2, 7) можна отримати будь-яке двомісне співвідношення від 1:12 до 12:1. Сума чисел цього ІКВ 1+3+2+7=13 може бути розбита на частини так, щоб у множині всіх можливих способів його розбиття отримати ряд двомісних пропорцій (рис. 2). Таких сум є безліч.
Багатовимірна ІКВ — це циклічна n-послідовність сумірних багатовимірних елементів, наприклад, t-вимірних векторів, множина усіх кільцевих вектор-сум яких, обчислених за відповідними модулями перелічує координати правильної t-вимірної решітки фіксоване число разів.
Кільцевою вектор-сумою називається сума будь-якої кількості (від 1 до n-1) послідовно розміщених t-вимірних векторів кільцевої n-послідовності. Прикладом двовимірної (t=2) ІКВ є циклічна послідовність векторів ((0,1), (0,2), (1,1)), де модулем (довжиною циклу) першої складової двовимірного вектора є =2, а другої — =3. Обчисливши всі кільцеві вектор-суми з урахуванням числових значень відповідних модулів, легко перевірити, що вони вичерпують множину координат двовимірної решітки 2×3:
Однією з необхідних умов існування t-вимірної ІКВ з параметрами n, R є вимога ( ,,…,)=1, де , , — розміри t-вимірної решітки, добуток числових значень яких дорівнює або . Теоретично доведено, що існує як завгодно багато ІКВ.
Будь-яка з наявних ідеальних в'язанок з ланцюжковою структурою — так звана «ідеальна лінійка Голомба» є частиною відповідної ІКВ. На відміну від ідеальної лінійки Голомба, існує нескінченно багато ІКВ.
Теорія ІКВ базується на окремих розділах комбінаторного аналізу, алгебричної теорії чисел та полів Ґалуа.
ІКВ знаходять застосування в контрольно-вимірювальній техніці, інформаційних і комп'ютерних технологіях, електротехніці та радіофізиці, кібернетиці й логістиці.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.