Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
В евклідовій геометрії дельтоїд — плоский чотирикутник, у якому дві пари суміжних сторін мають рівні довжини.
Дельтоїд | |
---|---|
Вид | Чотирикутник |
Ребра і вершини | 4 |
Група симетрії[en] | D1[en] (*), порядок 2. (Симетрія відбиття) |
Дуальний багатокутник[en] | Рівнобічна трапеція |
Властивості | Тангенціальний (Описується навколо кола), ортодіагональний. |
Дельтоїд є чотирикутником з симетрією відбиття відносно однієї з його діагоналей. Оскільки дельтоїд має щонайменше одну вісь симетрії, що проходить через його діагональ, то він має щонайменше два рівних протилежних кути і дві пари рівних суміжних сторін.
Дельтоїд може бути опуклим, а також неопуклим чотирикутником. Неопуклий дельтоїд також має назву дарт (дротик)[1].
Дельтоїди двох типів (опуклий і неопуклий) формують одну з плиток мозаїки Пенроуза.
Також дельтоїди є гранями кількох гранетранзитивних багатогранників, зокрема: дельтоїдального ікосотетраедра (його грані дельтоїди з трома рівними внутрішніми кутами), дельтоїдального гексеконтаедра та трапецоедрів. [2]
Окремими випадками дельтоїдів є:
Коли рівнодіагональний дельтоїд має довжину сторін, меншу або рівну його діагоналям (наприклад, як цей дельтоїд або квадрат), то він є одним із чотирикутників із найбільшим співвідношенням площі до діаметра.[5]
Для неопуклого дельтоїда можна побудувати коло, що дотикається до двох більших сторін і продовжень двох менших сторін і коло, що дотикається до двох менших сторін і продовжень двох більших сторін.
Для дельтоїда справедливі наступні формули:
Формули для дельтоїда | |
---|---|
Довжини сторін | |
Периметр | |
Площа | [6] |
де r — радіус вписаного кола. | |
Довжини діагоналей | (за теоремою косинусів) |
, де | |
Радіус вписаного кола | |
Радіус зовні-вписаного кола | [7] |
Внутрішні кути
(див. теорему косинусів) |
|
Дельтоїди та рівнобедрені трапеції є двоїстими один до одного чотирикутниками, що означає, що між ними існує відповідність, яка змінює елементи їх частин на протилежні, перетворюючи вершини на сторони, а сторони — на вершини.
У будь-якого дельтоїда вписане в нього коло дотикається до чотирьох його сторін у точках, що є вершинами рівнобедреної трапеції.
Для будь-якої рівнобедреної трапеції дотичні лінії до описаного кола в чотирьох вершинах утворюють чотири сторони дельтоїда. Цю відповідність також можна розглядати як приклад полярного перетворення, загального методу для відповідності точок лініям і навпаки, якщо задано фіксоване коло. Чотири вершини дельтоїда в цьому сенсі взаємні чотирьом сторонам рівнобедреної трапеції. [8]
Характеристики дельтоїдів і рівнобедрених трапецій, які відповідають одна одній за цієї двоїстості, порівнюються в таблиці нижче.[9]
Рівнобічна трапеція | Дельтоїд |
---|---|
Дві пари рівних сусідніх кутів | Дві пари рівних сусідніх сторін |
Дві рівні протилежні сторони | Два рівних протилежних кута |
Дві протилежні сторони мають спільний перпендикуляр, що проходить через їх середини | Два протилежні кути мають спільну бісектрису |
Вісь симетрії проходить через протилежні сторони | Вісь симетрії проходить через протилежні кути |
Має описане коло | Має вписане коло |
Опуклий дельтоїд з кутами 72°, 72°, 72°, 144° та неопуклий дельтоїд з кутами 36°, 72°, 36°, 216° формують одну з плиток мозаїки Пенроуза, аперіодичної плоскої мозаїки, відкритої фізиком-математиком Роджером Пенроузом. [10]
Коли дельтоїд має кути, які при його вершинах на одній стороні сумарно дорівнюють для деякого натурального числа 𝑛 , тоді масштабованими копіями цього дельтоїда можна замостити площину фрактальною розеткою, у якій центральна точка послідовно оточується все більшими кільцями з 𝑛 дельтоїдів. [11] Ці розетки можна використовувати для вивчення явища непружного колапсу, коли система рухомих частинок, що стикаються при непружних зіткненнях, об’єднується в одній точці.[12]
Дельтоїд з кутами 60°, 90°, 120°, 90° також може утворити паркет, яким можна замостити площину; при відзеркаленні дельтоїда відносно його ребер утворюється дельтоїдальна тригексагональна плитка, що замощує площину правильними шестикутниками та рівносторонніми трикутниками. [7]
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.