Алгоритм сортування

Алгоритм сортування — це алгоритм, що розв'язує задачу сортування, тобто здійснює впорядкування лінійного списку (масиву) елементів.

Термін сортування (англ. sorting) означає розділення елементів за певними ознаками (сортами) і не дуже точно описує поставлене завдання. Точнішою була б назва впорядкування (англ. ordering), але через перевантаженість слова «порядок» (англ. order) напрочуд різними значеннями^{[джерело?]} ним не користуються.

Вхід алгоритму: послідовність з $n$ чисел $(a_{1},a_{2},\dots \;,a_{n})$

Вихід алгоритму: перестановка $(a_{\pi \;(1)},a_{\pi \;(2)},\dots \;a_{\pi \;(n)})$ вхідної послідовності таким чином, що $a_{\pi \;(1)}\leq \;a_{\pi \;(2)}\leq \dots \leq \;a_{\pi \;(n)}$ ( $\pi \;$ — перестановка послідовності чисел $1...n$ ).

Вхідна послідовність найчастіше представляється у вигляді n-елементного масиву, хоча може мати й інше представлення, наприклад, у вигляді зв'язного списку.

Вхідна послідовність: (5, 6, 1, 8, 5, 7, 4)

Вихідна послідовність: (1, 4, 5, 5, 6, 7, 8)

Докладніше: Структура даних

На практиці елементи, що впорядковуються, рідко бувають просто числами. Набагато частіше кожен такий елемент є записом (англ. record). У кожному записі є ключ (англ. key), за яким, власне і здійснюється впорядкування; водночас є й інша супутня інформація. Алгоритм сортування на практиці має бути реалізований так, щоб разом із ключами переміщати і супутню інформацію. Якщо кожен запис містить супутню інформацію великого обсягу, то з метою звести до мінімуму переписування великих обсягів інформації, впорядкування відбувається не в самому масиві елементів, а в масиві вказівників на елементи.

Сам метод сортування не залежить від того, чи впорядковуються тільки числа, чи також і супутня інформація, тому при описі алгоритмів для простоти припускають, що елементи є числами.

Для алгоритму сортування (як і для будь-якого іншого сучасного алгоритму) основними характеристиками є:

Час, необхідний на впорядкування n-елементного масиву. Для значної кількості алгоритмів середній і найгірший час впорядкування n-елементного масиву є $\;O(n^{2})$ — це пов'язано з тим, що в них передбачені перестановки елементів, що стоять поряд (різниця між індексами елементів не перевищує деякого заданого числа). Такі алгоритми зазвичай є стабільними, хоча і не ефективними для великих масивів. Інший клас алгоритмів здійснює впорядкування за час $O(n\log \;n)$ . В цих алгоритмах використовується можливість обміну елементів, що знаходяться на будь-якій відстані один від одного.
Необхідність додаткової пам'яті для сортування. Зазвичай необхідно O(1) пам'яті.
Стабільність (англ. Stability) — стабільне сортування не змінює взаємного розташування елементів з однаковими ключами.

Якщо алгоритм сортування у своїй роботі спирається тільки на операції порівняння двох об'єктів (≤) і не враховує жодної додаткової інформації про елементи, то він не може впорядкувати масив елементів швидше ніж за $O(n\log \;n)$ в найгіршому випадку.

Доведення

На кожному кроці алгоритм проводить одне порівняння, результатом якого є один з двох варіантів:

$A\leq \;B$
$\;A>B$

Подальші дії алгоритм робитиме залежно від результату порівняння. Отже, всю роботу алгоритму можна представити у вигляді бінарного дерева, в листах якого лежать можливі перестановки вхідного масиву.

Отже, дерево має $n!$ листів, а висота дерева є $\log(n!)$ . Час роботи в найгіршому випадку пропорційний висоті дерева:

$O(\log(n!))=O\left(\log \left({\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\right)\right)=O(n\log \;n)$ .

Ці швидкі алгоритми використовуються в реальних задачах. Проте більшість із них нестабільні. Стабільні алгоритми, що працюють за час $O(n\log \;n)$ , потребують $\;O(n)$ додаткової пам'яті.

Відомий стабільний алгоритм сортування, що не вимагає додаткової пам'яті, працює за час $O(n\log ^{2}\;n)$ .

Ще один клас алгоритмів використовує у своїй роботі деяку додаткову інформацію про елементи, що впорядковуються (наприклад, те що вони є різними числами в деякому діапазоні). Завдяки цьому вони працюють за час $\;O(n)$ .

За час $\;O(n^{2})$ :

Сортування вибором — (англ. Selection sort) — пошук найменшого або найбільшого елемента і переміщення його в початок або кінець впорядкованого списку.
Сортування вставкою (включенням) — (англ. Insertion sort) — визначаємо місце, де поточний елемент повинен знаходитися в упорядкованому списку, і вставляємо його туди.
Сортування обміном (сортування бульбашкою, англ. Bubble sort) — для кожної пари індексів проводиться обмін, якщо елементи розташовані не по порядку.
Сортування методом бінарної вставки