H∞-керування

H на нескінче́нності або ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$ — метод теорії керування для синтезу оптимальних контролерів. Метод є оптимізаційним, що має справу із строгим математичним описом передбачуваної поведінки замкненої системи і її стійкості. Метод примітний своєю строгою математичною базою, оптимізаційним характером і застосовністю як до класичного, так і надійного керування.

${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ є нормою в просторі Гарді. «Нескінченність» говорить про виконання мінімаксних умов в частотній області. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$-норма динамічної системи, дорівнює максимальному підсиленню системи по енергії. У разі MIMO-систем вона дорівнює максимальному сингулярному значенню передавальної функції системи, у разі SISO-систем вона дорівнює максимальному значенню амплітуди її частотної характеристики.

Постановка задачі

Спочатку система повинна бути приведена до стандартного вигляду:

Об'єкт управління P має два входи, дві зовнішні дії w, які включають сигнал завдання і збурення. Контрольована змінна позначена u. Це вектор вихідних сигналів системи, що складається з сигналу похибки z, який треба мінімізувати і зміряна змінна v, яка використовується в контурі керування. v використовується в До для підрахунку змінної u.

Рівняння системи:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=P(s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle u=K(s)\,v}$

Таким чином можливо виразити залежність z від w:

${\displaystyle z=F_{l}(P,K)\,w}$

й далі:

${\displaystyle F_{l}(P,K)=P_{11}+P_{12}\,K\,(I-P_{22}\,K)^{-1}\,P_{21}}$

Таким чином, метою ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$-керування є синтез такого контролера K, ${\displaystyle F_{l}(P,K)}$, який мінімізував би ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$-норму системи. Те ж стосується й ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$-керування . Норма на нескінченності матриці ${\displaystyle F_{l}(P,K)}$ визначається як:

${\displaystyle ||F_{l}(P,K)||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{l}(P,K)(j\omega ))}$

де ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$ — максимальне сингулярне значення матриці ${\displaystyle F_{l}(P,K)(j\omega )}$.