Аргументи максимізації та мінімізації

Аргуме́нт максиміза́ції (argmax або arg max) — значення аргументу, при якому даний вираз досягає максимуму. Іншими словами, ${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {argmax} }}\,f(x)}$ — є значення ${\displaystyle x~}$, при якому ${\displaystyle f(x)~}$ досягає свого найбільшого значення. Є розв'язком задачи максимізації функції скінченної кількості аргументів ^[1].

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {argmax} }}\,f(x)\quad \in \quad \{x\ |\ \forall y:f(y)\leq f(x)\}}$

Аргумент максимізації визначається єдиним чином тоді і лише тоді, коли максимум досягається в єдиній точці: ${\displaystyle x_{0}={\underset {x}{\operatorname {argmax} }}\,f(x)\Leftrightarrow \max f(x)=f(x_{0})}$

Якщо ж максимум досягається в декількох точках, то argmax може бути розширений до набору розв'язків.

Аргуме́нт мініміза́ції (argmin або arg min) — аргумент, при якому даний вираз досягає мінімуму.

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {argmin} }}\,f(x)\quad \in \quad \{x\ |\ \forall y:f(y)\geq f(x)\}}$

Приклади

• ${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmax} }}(x(10-x))=5}$, так як максимум функції, рівний 25, досягається при ${\displaystyle x=5~}$.
• ${\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {argmax} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}}$, так як ${\displaystyle \max {\cos x}=1~}$ на відрізку ${\displaystyle [0,4\pi ]}$ досягається при ${\displaystyle x=0,2\pi ,4\pi ~}$

Примітки

1. Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — Т. 3. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — 1184 с.: ил.