Впорядковане кільце

В абстрактній алгебрі впорядковане кільце — це (зазвичай комутативне) кільце ${\displaystyle R}$ із порядком ${\displaystyle \leq }$ таке, що для всіх ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ і ${\displaystyle c}$ у ${\displaystyle R}$:^[1]

• якщо ${\displaystyle a\leq b}$, тоді ${\displaystyle a+c\leq b+c}$.
• якщо ${\displaystyle 0\leq a}$ та ${\displaystyle 0\leq b}$, тоді ${\displaystyle 0\leq ab}$.

Дійсні числа є впорядкованим кільцем, яке також є впорядкованим полем. Цілі числа, підмножина дійсних чисел, є впорядкованим кільцем, яке не є впорядкованим полем.

Приклади

Впорядковані кільця знайомі з арифметики. Приклади включають цілі, раціональні та дійсні числа.^[2] (раціональні та дійсні числа утворюють впорядковані поля) Комплексні числа, навпаки, не утворюють впорядкованого кільця чи поля, оскільки між елементами ${\displaystyle 1}$ та ${\displaystyle i}$ немає властивого порядку зв'язку.

Додатні елементи

За аналогією з дійсними числами, ми називаємо елемент ${\displaystyle c}$ впорядкованого кільця ${\displaystyle R}$ додатним, якщо ${\displaystyle 0<c}$, і від'ємним, якщо ${\displaystyle c<0}$. ${\displaystyle 0}$ не вважається ні додатним, ні від'ємним.

Множину додатних елементів впорядкованого кільця ${\displaystyle R}$ часто позначають ${\displaystyle R_{+}}$. Альтернативна нотація, якій віддають перевагу в деяких дисциплінах, полягає у використанні ${\displaystyle R_{+}}$ для набору невід'ємних елементів і ${\displaystyle R_{++}}$ для набору додатних елементів.

Абсолютна величина

Якщо ${\displaystyle a}$ — елемент упорядкованого кільця ${\displaystyle R}$, то абсолютна величина ${\displaystyle a}$ (позначається ${\displaystyle |a|}$) визначається так:

${\displaystyle |a|:={\begin{cases}{\hphantom {-}}a,&{\text{якщо }}0\leq a,\\-a,&{\text{в іншому випадку}},\end{cases}}}$

де ${\displaystyle -a}$ є протилежним до ${\displaystyle a}$ елементом і ${\displaystyle 0}$ є нейтральним елементом.

Дискретні впорядковані кільця

Дискретне впорядковане кільце або дискретно впорядковане кільце — це впорядковане кільце, в якому немає елементів між ${\displaystyle 0}$ і ${\displaystyle 1}$. Цілі числа є дискретним впорядкованим кільцем, а раціональні числа — ні.

Основні властивості

Для всіх ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ і ${\displaystyle c}$ у ${\displaystyle R}$:

• Якщо ${\displaystyle a\leq b}$ і ${\displaystyle 0\leq c}$, то ${\displaystyle ac\leq bc}$.^[3] Ця властивість іноді використовується для визначення впорядкованих кілець замість другої властивості у визначенні вище.
• ${\displaystyle |ab|=|a||b|}$.^[4]
• Впорядковане кільце, яке не є тривіальним^[en], є нескінченним.^[5]
• Справедливо одне з наступного: ${\displaystyle a}$ додатне, ${\displaystyle -a}$ додатне або ${\displaystyle a=0}$.^[6]

Ця властивість випливає з того факту, що впорядковані кільця є абелевими лінійно впорядкованими групами^[en] відносно додавання.

• У впорядкованому кільці жоден від'ємний елемент не є квадратом.^[7] Це пояснюється тим, що якщо ${\displaystyle a\neq 0}$ і ${\displaystyle a=b^{2}}$,

то ${\displaystyle b\neq 0}$ і ${\displaystyle a=(-b)^{2}}$; оскільки ${\displaystyle b}$ або ${\displaystyle -b}$ додатні, ${\displaystyle a}$ має бути невід'ємним.

Див. також

• Впорядковане поле — алгебраїчний об'єкт з упорядкованою структурою
• Впорядкована група — група із сумісним частковим порядком
• Впорядкований топологічний векторний простір^[en]
• Впорядкований векторний простір^[en] — векторний простір із частковим порядком
• Частково впорядковане кільце^[en] — кільце з сумісним частковим порядком
• Частково впорядкований простір^[en] — частково впорядкований топологічний простір
• Простір Рісса^[en] — частково впорядкований векторний простір, упорядкований як решітка
• Векторна решітка^[en] — частково впорядкований векторний простір, упорядкований як решітка

Примітки

Список нижче містить посилання на теореми, перевірені проектом IsarMathLib.

1. Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, т. 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, Zbl 0516.12001
2. Lam, T. Y. (2001), A first course in noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, т. 131 (вид. 2nd), New York: Springer-Verlag, с. xx+385, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439, Zbl 0980.16001
3. OrdRing_ZF_1_L9
4. OrdRing_ZF_2_L5
5. ord_ring_infinite
6. OrdRing_ZF_3_L2, see also OrdGroup_decomp
7. OrdRing_ZF_1_L12