Умовна ймовірність

Умо́вна ймові́рність — ймовірність однієї події за умови, що інша подія вже відбулася.

Нехай ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ — фіксований ймовірнісний простір. Нехай ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ дві випадкової події, причому ${\displaystyle \mathbb {P} (B)>0}$. Тоді умовною ймовірністю події ${\displaystyle A}$ при умові події ${\displaystyle B}$ називається

${\displaystyle \mathbb {P} (A\vert B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}.}$

Властивості

• Прямо з визначення очевидно випливає, що

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A\vert B)\;\mathbb {P} (B).}$

• Якщо ${\displaystyle \mathbb {P} (B)=0}$, то умовна ймовірність, строго кажучи, не визначена. Проте іноді умовляються вважати її в цьому випадку рівною нулю .

• Умовна ймовірність є ймовірністю, тобто функція ${\displaystyle \mathbb {Q}$ :{\mathcal {F}}\to \mathbb {R} } , задана формулою

${\displaystyle \mathbb {Q} (A)=\mathbb {P} (A\vert B),\;\forall A\in {\mathcal {F}},}$

задовольняє усі аксіоми імовірнісної міри.

Статистична незалежність

Докладніше: Незалежність (теорія ймовірностей)

Події ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ є статистично незалежними, якщо

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B).}$

Якщо ${\displaystyle P(B)}$ не нульова, це еквівалентне виразу

${\displaystyle P(A|B)=P(A).}$

Так само, якщо ${\displaystyle P(A)}$ не дорівнює нулю, тоді

${\displaystyle P(B|A)=P(B).}$

також еквівалентно.

Приклад

Якщо ${\displaystyle A,B}$ — несумісні події, тобто ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ та ${\displaystyle \mathbb {P} (A)>0,\;\mathbb {P} (B)>0}$, тоді

${\displaystyle \mathbb {P} (A\vert B)=0}$

та

${\displaystyle \mathbb {P} (B\vert A)=0}$.

Див. також

• Незалежність подій;
• Умовне математичне сподівання;
• Формула повної ймовірності;
• Теорема Баєса.

Джерела

• Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 9781852337810
• Williams D., Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6