Теорема про модулярність

Теорема про модулярність — математична теорема, що встановлює важливе співвідношення між еліптичними кривими над полем раціональних чисел і модулярними формами, які є певними аналітичними функціями комплексної змінної. У 1995 році Ендрю Джон Вайлс, не без допомоги Річарда Тейлора, довів цю теорему для всіх напівстабільних еліптичних кривих над полем раціональних чисел. Доведення інших (ненапівстабільних) випадків теореми стало результатом робіт Крістофа Брейля, Брайана Конрада, Фреда Даймонда і Річарда Тейлора. До 2001 року (повне доведення було отримано в 1999 році) теорема називалася гіпотезою Таніями — Шимури — Вейля (або гіпотезою Таніями — Сімура — Вейля).

Теорема про модулярність входить в програму Ленглендса, яка, зокрема, спрямована на пошук взаємозв'язку автоморфних форм або автоморфних представлень (зручне узагальнення модулярной форми) з більш загальними об'єктами алгебричної геометрії, такими як еліптичні криві над полем алгебричних чисел. Більшість гіпотез в рамках даної програми поки не доведено.

Джерела

• Breuil, Christophe; Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (2001), On the modularity of elliptic curves over Q: wild 3-adic exercises, Journal of the American Mathematical Society, 14 (4): 843—939, doi:10.1090/S0894-0347-01-00370-8, ISSN 0894-0347, MR 1839918
• Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (1999), Modularity of certain potentially Barsotti–Tate Galois representations, Journal of the American Mathematical Society, 12 (2): 521—567, doi:10.1090/S0894-0347-99-00287-8, ISSN 0894-0347, MR 1639612 Наведено доведення теореми.
• Cornell, Gary; Silverman, Joseph H.; Stevens, Glenn, ред. (1997), Modular forms and Fermat's last theorem, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94609-2, MR 1638473, архів оригіналу за 5 липня 2014, процитовано 26 червня 2019
• Darmon, Henri (1999), A proof of the full Shimura–Taniyama–Weil conjecture is announced (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 46 (11): 1397—1401, ISSN 0002-9920, MR 1723249, архів оригіналу (PDF) за 14 травня 2011, процитовано 25 червня 2019 Містить вступ до теоремі і огляд її доведення.
• Diamond, Fred (1996), On deformation rings and Hecke rings, Annals of Mathematics, Second Series, 144 (1): 137—166, doi:10.2307/2118586, ISSN 0003-486X, JSTOR 2118586, MR 1405946
• Freitas, Nuno; Le Hung, Bao V.; Siksek, Samir (2015), Elliptic curves over real quadratic fields are modular, Inventiones Mathematicae, 201 (1): 159—206, arXiv:1310.7088, Bibcode:2015InMat.201..159F, doi:10.1007/s00222-014-0550-z, ISSN 0020-9910, MR 3359051
• Frey, Gerhard (1986), Links between stable elliptic curves and certain Diophantine equations, Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae, 1 (1): iv+40, ISSN 0933-8268, MR 0853387
• Mazur, Barry (1991), Number theory as gadfly, The American Mathematical Monthly, 98 (7): 593—610, doi:10.2307/2324924, ISSN 0002-9890, JSTOR 2324924, MR 1121312 Discusses the Taniyama–Shimura–Weil conjecture 3 years before it was proven for infinitely many cases.
• Ribet, Kenneth A. (1990), On modular representations of Gal(Q/Q) arising from modular forms, Inventiones Mathematicae, 100 (2): 431—476, Bibcode:1990InMat.100..431R, doi:10.1007/BF01231195, ISSN 0020-9910, MR 1047143
• Serre, Jean-Pierre (1987), Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal(Q/Q), Duke Mathematical Journal, 54 (1): 179—230, doi:10.1215/S0012-7094-87-05413-5, ISSN 0012-7094, MR 0885783
• Shimura, Goro (1989), Yutaka Taniyama and his time. Very personal recollections, The Bulletin of the London Mathematical Society, 21 (2): 186—196, doi:10.1112/blms/21.2.186, ISSN 0024-6093, MR 0976064
• Singh, Simon (1997), Fermat's Last Theorem, ISBN 978-1-85702-521-7
• Taniyama, Yutaka (1956), Problem 12, Sugaku (Japanese) , 7: 269 English translation in (Shimura, 1989, p. 194)
• Taylor, Richard; Wiles, Andrew (1995), Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras, Annals of Mathematics, Second Series, 141 (3): 553—572, CiteSeerX 10.1.1.128.531, doi:10.2307/2118560, ISSN 0003-486X, JSTOR 2118560, MR 1333036
• Weil, André (1967), Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen, Mathematische Annalen, 168: 149—156, doi:10.1007/BF01361551, ISSN 0025-5831, MR 0207658
• Wiles, Andrew (1995), Modular elliptic curves and Fermat's last theorem, Annals of Mathematics, Second Series, 141 (3): 443—551, CiteSeerX 10.1.1.169.9076, doi:10.2307/2118559, ISSN 0003-486X, JSTOR 2118559, MR 1333035
• Wiles, Andrew (1995), Modular forms, elliptic curves, and Fermat's last theorem, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Zürich, 1994), Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, с. 243—245, MR 1403925

Додаткові джерела

• Weisstein, Eric W. Taniyama–Shimura Conjecture(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.