Теорема про кінетичну енергію системи

Теорема про кінетичну енергію системи — одна із загальних теорем динаміки, наслідок законів Ньютона. Пов'язує кінетичну енергію механічної системи з роботою сил, що діють на тіла, які становлять систему. Системою, про яку йдеться, може виступати будь-яка механічна система, що складається з будь-яких тіл^[1][2].

Формулювання теореми

Кінетичною енергією системи називають суму кінетичних енергій усіх тіл, що входять до системи. Для визначеної в такий спосіб величини справедливе твердження^[1][2]:

Зміна кінетичної енергії системи дорівнює роботі всіх внутрішніх та зовнішніх сил, що діють на тіла системи.

Теорема допускає узагальнення на випадок неінерційних систем відліку. У цьому випадку до роботи всіх зовнішніх і внутрішніх сил необхідно додати роботу переносних сил інерції (коріолісові сили інерції не можуть виконувати роботу)^[3].

Доведення теореми

Розглянемо систему матеріальних точок із масами ${\displaystyle m_{i}}$, швидкостями ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$ та кінетичними енергіями ${\displaystyle T_{i}={\frac {1}{2}}m_{i}{v_{i}}^{2}}$. Для малої зміни кінетичної енергії (диференціала), що відбувається протягом деякого малого проміжку часу ${\displaystyle dt,}$ буде виконуватися

${\displaystyle dT_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i}d{\vec {v}}_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}dt.}$

Враховуючи що ${\displaystyle {\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}}$ являє собою прискорення ${\displaystyle i}$-ої точки ${\displaystyle {\vec {a}}_{i}}$, а ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}dt}$ — переміщення тієї ж точки ${\displaystyle d{\vec {s}}_{i}}$ за час ${\displaystyle dt}$, отриманий вираз можна записати у вигляді:

${\displaystyle dT_{i}=m_{i}{\vec {a}}_{i}d{\vec {s}}_{i}.}$

Використовуючи другий закон Ньютона і позначаючи рівнодійну всіх сил, що діють на точку, як ${\displaystyle F_{i}}$, отримуємо

${\displaystyle dT_{i}={\vec {F}}_{i}d{\vec {s}}_{i},}$

а потім, відповідно до визначення роботи ${\displaystyle dA_{i}}$,

${\displaystyle dT_{i}=dA_{i}.}$

Підсумовування всіх рівнянь такого вигляду, записаних для кожної з матеріальних точок, приводить до формули зміни повної кінетичної енергії системи:

${\displaystyle dT=\sum \limits _{i}dA_{i}.}$

Ця рівність виражає твердження теореми про зміну кінетичної енергії системи в диференціальному вигляді.

Проінтегрувавши обидві частини рівності за довільно взятим проміжком часу між деякими ${\displaystyle t_{1}}$ і ${\displaystyle t_{2}}$, отримаємо вираз теореми про зміну кінетичної енергії в інтегральній формі:

${\displaystyle T_{2}-T_{1}=\sum \limits _{i}A_{i},}$

де ${\displaystyle T_{1}}$ і ${\displaystyle T_{2}}$ — Значення кінетичної енергії системи в моменти часу ${\displaystyle t_{1}}$ і ${\displaystyle t_{2}}$ відповідно.

Підкреслимо, що тут, на відміну від випадків теореми про зміну кількості руху системи та теореми про рух центра мас системи, враховується робота не лише зовнішніх, але й внутрішніх сил.

Закон збереження механічної енергії

Окремий інтерес становлять системи, в яких на тіла діють потенціальні сили^[4]. Для таких сил уводиться поняття потенціальної енергії, зміна якої в разі однієї матеріальної точки за визначенням задовольняє співвідношенню:

${\displaystyle W_{2i}-W_{1i}=-A_{pi},}$

де ${\displaystyle W_{1i}}$ і ${\displaystyle W_{2i}}$ — значення потенціальної енергії точки в початковому і кінцевому станах відповідно, а ${\displaystyle A_{pi}}$ — робота потенціальної сили, що виконується при переміщенні точки з початкового стану в кінцевий.

Зміна потенційної енергії системи отримується як сума змін енергії всіх тіл системи:

${\displaystyle W_{2}-W_{1}=-\sum \limits _{i}A_{pi}.}$

Якщо всі внутрішні та зовнішні сили, що діють на тіла системи, потенціальні^[5], то

${\displaystyle \sum \limits _{i}A_{i}=\sum \limits _{i}A_{pi}=-(W_{2}-W_{1}).}$

Підставляючи отриманий вираз у рівняння теореми про кінетичну енергію, отримаємо:

${\displaystyle T_{2}-T_{1}=-(W_{2}-W_{1})}$

або, що те саме

${\displaystyle T_{2}+W_{2}=T_{1}+W_{1}.}$

Інакше кажучи, виходить, що для повної механічної енергії системи ${\displaystyle T+W}$ виконується

${\displaystyle T+W=const.}$

Отже, можна зробити висновок:

Якщо на тіла системи діють лише потенціальні сили, то повна механічна енергія системи зберігається.

Це твердження й становить зміст закону збереження механічної енергії, який є наслідком теореми про кінетичну енергію і одночасно окремим випадком загального фізичного закону збереження енергії^[1][2].

Випадок системи з ідеальними стаціонарними зв'язками

У тих випадках, коли предметом вивчення є лише рух системи, а реакції зв'язків не цікаві, користуються формулюванням теореми для системи з ідеальними стаціонарними зв'язками, яка виводиться з урахуванням принципу д'Аламбера — Лагранжа.

Теорема про зміну кінетичної енергії системи з ідеальними стаціонарними зв'язками стверджує:

Диференціал кінетичної енергії системи з ідеальними стаціонарними зв'язками дорівнює сумі елементарних робіт на дійсних переміщеннях зовнішніх і внутрішніх сил, що діють.

Теорема доводиться в такий спосіб. Замінюючи в загальному рівнянні динаміки(інші мови) ${\displaystyle \delta {\vec {r}}_{k}}$ на ${\displaystyle {\vec {v}}_{k}dt}$, отримуємо:

${\displaystyle (\sum m_{k}{\vec {w}}_{k}){\vec {v}}_{k}dt=\sum {\vec {F}}_{k}{\vec {v}}_{k}dt}$

або

${\displaystyle (d\sum m_{k}{\vec {v}}_{k}){\vec {v}}_{k}=\sum {\vec {F}}_{k}^{ae}{\vec {v}}_{k}dt+\sum {\vec {F}}_{k}^{ai}{\vec {v}}_{k}dt}$

Оскільки ${\displaystyle d{\vec {v}}_{k}{\vec {v}}_{k}=d{\frac {v_{k}^{2}}{2}}}$, отримуємо остаточно:

${\displaystyle dT_{i}=m_{i}{\vec {a}}_{i}d{\vec {s}}_{i}.}$

Верхні значки в цих виразах означають: ${\displaystyle ^{a}}$ — активна (тобто, така, що не є реакцією зв'язків) сила, ${\displaystyle ^{e}}$ (від англ. external) та ${\displaystyle ^{i}}$ (від англ. internal) — відповідно, зовнішня та внутрішня сила.

Див. також

• Теорема про рух центра мас системи
• Теорема про зміну кількості руху системи
• Теорема про зміну моменту імпульсу системи

Примітки

1. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М. : Высшая школа, 1995. — С. 301—323. — ISBN 5-06-003117-9.
2. Журавлёв В. Ф.^[ru]. Основы теоретической механики. — М. : Физматлит, 2001. — С. 70-71. — ISBN 5-95052-041-3.
3. Жирнов Н. И. Классическая механика. — Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М., Просвещение, 1980. — Тираж 28 000 экз. — с. 262
4. Нагадаємо, що сили називають потенціальними, якщо робота, яку вони виконують під час переміщення матеріальної точки, визначається лише початковим і кінцевим положеннями точки і не залежить від вибору траєкторії.
5. Тобто, дисипативні сили відсутні.