Теорема Мікеля

Теорема Мікеля — твердження в планіметрії, пов'язане з перетином трьох кіл, кожне з яких проходить через вершину трикутника і дві точки на прилеглих до неї сторонах. Названо на честь французького математика Огюста Мікеля^[fr][1]. Ця теорема — один з декількох отриманих Мікелем результатів, що стосуються кіл у геометрії, і опублікованих ним у Journal de mathématiques pures et appliquées^[en].

Малюнок, на якому зображено три кола, що проходять через вершини трикутника ${\displaystyle ABC}$ і точки ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ і ${\displaystyle C'}$, які лежать на сусідніх сторонах трикутника, і перетинаються у спільній точці M.

Теорема Мікеля для різних видів трикутників

Формулювання

Нехай ${\displaystyle ABC}$ — трикутник із довільними точками ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ і ${\displaystyle C'}$ на сторонах ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ і ${\displaystyle AB}$ відповідно (або на їх продовженнях). Опишемо три кола навколо трикутників ${\displaystyle AB'C'}$, ${\displaystyle A'BC'}$, і ${\displaystyle A'B'C.}$ Теорема Мікеля стверджує, що ці три кола перетнуться в одній точці ${\displaystyle M}$, яку називають точкою Мікеля. Окрім того, рівні будуть також кути ${\displaystyle \angle MA'B,\angle MB'C,\angle MC'A}$ (позначені на малюнку).^[2][3]

Окремий випадок

Якщо точка Мікеля — центр описаного кола трикутника, а діаметри трьох кіл Мікеля дорівнюють радіусу описаного кола трикутника, і кожне з трьох кіл Мікеля проходить через спільну для них точку — центр описаного кола, а також через дві проєкції цього центра на сторони трикутника і через одну з трьох вершин, тоді радіуси трьох кіл Мікеля однакові.

Див. також

• Точка Мікеля^[ru] — інший результат Мікеля

Примітки

1. Ostermann та Wanner, (2012).
2. Miquel, Auguste (1838), Mémoire de Géométrie, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1: 485—487, архів оригіналу за 13 лютого 2013, процитовано 14 травня 2021 [Архівовано 2013-02-13 у Archive.is]
3. Wells, 1991 — Wells refers to Miquel's theorem as the pivot theorem

Література

• Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, New Mathematical Library, т. 19, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-619-2, Zbl 0166.16402
• Forder, H.G. (1960), Geometry, London: Hutchinson
• Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History, Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
• Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry / A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Smart, James R. (1997), Modern Geometries (вид. 5th), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
• Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6, Zbl 0856.00005