Теорема Мікеля

Теорема Мікеля — твердження в планіметрії, пов'язане з перетином трьох кіл, кожне з яких проходить через вершину трикутника і дві точки на прилеглих до неї сторонах. Названо на честь французького математика Огюста Мікеля^[fr][1]. Ця теорема — один з декількох отриманих Мікелем результатів, що стосуються кіл у геометрії, і опублікованих ним у Journal de mathématiques pures et appliquées^[en].

Малюнок, на якому зображено три кола, що проходять через вершини трикутника ${\displaystyle ABC}$ і точки ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ і ${\displaystyle C'}$, які лежать на сусідніх сторонах трикутника, і перетинаються у спільній точці M.

Теорема Мікеля для різних видів трикутників

Формулювання

Нехай ${\displaystyle ABC}$ — трикутник із довільними точками ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ і ${\displaystyle C'}$ на сторонах ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ і ${\displaystyle AB}$ відповідно (або на їх продовженнях). Опишемо три кола навколо трикутників ${\displaystyle AB'C'}$, ${\displaystyle A'BC'}$, і ${\displaystyle A'B'C.}$ Теорема Мікеля стверджує, що ці три кола перетнуться в одній точці ${\displaystyle M}$, яку називають точкою Мікеля. Окрім того, рівні будуть також кути ${\displaystyle \angle MA'B,\angle MB'C,\angle MC'A}$ (позначені на малюнку).^[2][3]

Окремий випадок

Якщо точка Мікеля — центр описаного кола трикутника, а діаметри трьох кіл Мікеля дорівнюють радіусу описаного кола трикутника, і кожне з трьох кіл Мікеля проходить через спільну для них точку — центр описаного кола, а також через дві проєкції цього центра на сторони трикутника і через одну з трьох вершин, тоді радіуси трьох кіл Мікеля однакові.

Див. також

• Точка Мікеля^[ru] — інший результат Мікеля