Теорема Карно про перпендикуляри

Теорема Карно (названа в честь Лазара Карно) описує необхідну і достатню умову для того, щоб три прямі, перпендикулярні до сторін трикутника (або їх продовжень), перетиналися в одній точці. Теорему також можна розглядати як узагальнення теореми Піфагора.

Теорема Карно про перпендикуляри до сторін трикутника:
синя площа = червона площа

Теорема

Для трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$ зі сторонами ${\displaystyle a,b,c}$ розглянемо три прямі, які перпендикулярні до сторін трикутника і перетинаються в спільній точці ${\displaystyle F}$. Якщо ${\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}}$ є точками перетину зазначених трьох прямих зі сторонами ${\displaystyle a,b,c}$ трикутника відповідно, то виконується таке рівняння:

${\displaystyle |AP_{c}|^{2}+|BP_{a}|^{2}+|CP_{b}|^{2}=|BP_{c}|^{2}+|CP_{a}|^{2}+|AP_{b}|^{2}.}$

Істинним є і обернене твердження, тобто якщо зазначене рівняння виконується для точок перетину трьох прямих, перпендикулярних сторонам, та трьох сторін трикутника, то прямі перетинаються в одній точці. Отже, рівняння вказує на необхідну і достатню умову.

Особливі випадки

Якщо трикутник ${\displaystyle \triangle ABC}$ має прямий кут в точці ${\displaystyle C}$ і точка перетину ${\displaystyle F}$ збігається з будь-якою з точок ${\displaystyle A}$ або ${\displaystyle B}$, то рівняння, зазначене вище, дає теорему Піфагора. Наприклад, якщо ${\displaystyle F}$ збігається з ${\displaystyle A}$ тоді ${\displaystyle |AP_{b}|=0}$, ${\displaystyle |AP_{c}|=0}$, ${\displaystyle |CP_{a}|=0}$, ${\displaystyle |CP_{b}|=b}$, ${\displaystyle |BP_{a}|=a}$ і ${\displaystyle |BP_{c}|=c}$ . Отже, наведене вище рівняння перетворюється на теорему Піфагора ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$.

Іншим наслідком теореми Карно про перпендикуляри є властивість перпендикулярних бісектрис трикутника перетинатися в спільній точці. У разі перпендикулярних бісектрис маємо, що ${\displaystyle |AP_{c}|=|BP_{c}|}$, ${\displaystyle |BP_{a}|=|CP_{a}|}$ і ${\displaystyle |CP_{b}|=|AP_{b}|}$ і, отже, виконується наведене вище рівняння, а це означає, що всі три перпендикуляри перетинаються в одній точці.

Література

• Wohlgemuth, Martin., ред. (2010). Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger : Weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet (German) . Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. с. 273—276. ISBN 9783827426079. OCLC 699828882.
• Alfred S. Posamentier^[en]; Charles T. Salkind (1996). Challenging Problems in Geometry. New York: Dover. с. 85–86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719.

Посилання

• Флоріан Модлер: Vergessene Sätze am Dreieck — Der Satz von Carnot на matheplanet.com (нім.)
• Теорема Карно на cut-the-knot.org (англ.)