Теорема Вейля про рівномірний розподіл

Теорема Вейля про рівномірний розподіл формулює критерій рівномірної розподіленості нескінченної послідовності дійсних чисел із відрізка ${\displaystyle (0;1)}$.

Теорему довів 1914 року і опублікував 1916 року Герман Вейль^[1].

Визначення

Нехай ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\dots }$ — нескінченна послідовність дійсних чисел з інтервалу ${\displaystyle (0;1)}$.

Для чисел ${\displaystyle a,b\in (0;1),\ a<b}$ позначимо через ${\displaystyle \varphi _{n}(a,b)=\#\left\lbrace {k:1\leq k\leq n,\xi _{k}\in (a;b)}\right\rbrace }$ кількість чисел з ${\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}}$, що лежать у відрізку ${\displaystyle (a;b)}$.

Визначимо граничне найбільше відхилення як ${\displaystyle D_{\xi }=\lim \sup _{n\to \infty }{\left({{\frac {\varphi _{n}(a,b)}{n}}-(b-a)}\right)}}$.

Послідовність ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\dots }$ називається рівномірно розподіленою в ${\displaystyle (0;1)}$, якщо ${\displaystyle D_{\xi }=0}$. Іншими словами, послідовність рівномірно розподілена в ${\displaystyle (0;1)}$ якщо в будь-якому ненульовому відрізку частка елементів, що потрапляють у цей відрізок, прямує до частки розміру відрізка в ${\displaystyle (0;1)}$.

Формулювання теореми

Послідовність ${\displaystyle \left({\xi _{n}}\right)_{n=1}^{\infty },\xi _{n}\in (0;1)}$ рівномірно розподілена в ${\displaystyle (0;1)}$ тоді й лише тоді, коли для будь-якої інтегровної за Ріманом на відрізку ${\displaystyle (0;1)}$ функції ${\displaystyle f}$ виконується тотожність: ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}}=\int \limits _{0}^{1}{f(x)dx}}$

Доведення  

Очевидно, що твердження про рівномірну розподіленість еквівалентне виконанню тотожності для кусково-сталих функцій вигляду ${\displaystyle f(x)=\left\lbrace {\begin{matrix}1,x\in (a;b)\\0,x\not \in (a;b)\end{matrix}}\right.}$. Це зразу забезпечує слідування рівномірності з виконання тотожності для всіх функцій.

Більш того, в разі рівномірної розподіленості послідовності, за допомогою композиції таких функцій та відповідних множень (на сталу) та додавань границь та інтегралів можна довести виконання тотожності для будь-якої кусково-сталої функції.

Оскільки будь-яку інтегровну за Ріманом функцію ${\displaystyle f}$ можна з точністю до величини інтегралу ${\displaystyle \varepsilon =\int _{0}^{1}{|f(x)-f_{1}(x)|dx}}$ апроксимувати кусково-сталою функцією ${\displaystyle f_{1}}$ (причому такою, що ${\displaystyle \forall x:\ |f_{1}(x)-f(x)|<\varepsilon }$) для ${\displaystyle \varepsilon >0}$, то

${\displaystyle {\Bigg |}{\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1}(\xi _{k})}}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}={\Bigg |}{\int _{0}^{1}{f_{1}(x)dx}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<\varepsilon }$

${\displaystyle \exists N:\ \forall n>N:\ {\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1}(\xi _{k})}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<2\varepsilon }$

Оскільки за визначенням ${\displaystyle f_{1}}$ випливає ${\displaystyle {\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}-{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1}(\xi _{k})}}{\Bigg |}={\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{(f(\xi _{k})-f_{1}(\xi _{k}))}}{\Bigg |}<{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{|f(\xi _{k})-f_{1}(\xi _{k})}|<\varepsilon }$, то для достатньо великих ${\displaystyle n}$ буде виконано

${\displaystyle {\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<\varepsilon }$,

Бо в ці міркування можна підставити як завгодно мале ${\displaystyle \varepsilon >0}$, то це й означає, що

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}}=\int _{0}^{1}{f(x)dx}}$

Наслідки

Критерій із тригонометричними сумами

Теорема Вейля дозволяє вивести прямий зв'язок рівномірності розподілу з тригонометричними сумами.

Послідовність ${\displaystyle \left({\xi _{n}}\right)_{n=1}^{\infty },\xi _{n}\in (0;1)}$ рівномірно розподілена в ${\displaystyle (0;1)}$ тоді й лише тоді, коли для будь-якого цілого ${\displaystyle m\not =0}$ виконується ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi m\xi _{k}i}}}=0}$

Доведення останнього твердження проводиться аналогічно доведенню основної теореми (див. вище), тільки замість апроксимації кусково-лінійною функцією використовується апроксимація частковими сумами ряду Фур'є.

Стала ${\displaystyle 0}$ у формулі фактично є значенням інтегралу ${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{e^{2\pi mxi}dx}=0}$.

Дробові частини від кратних ірраціональних

Завдяки формулюванню теореми, яка використовує тригонометричні суми, легко вивести такий результат:

Позначимо через ${\displaystyle \left\lbrace {x}\right\rbrace }$ дробову частину числа ${\displaystyle x}$ Якщо ${\displaystyle \xi \in {\mathbb {R} }}$ — ірраціональне число, то послідовність ${\displaystyle \left\lbrace {\xi }\right\rbrace ,\left\lbrace {2\xi }\right\rbrace ,\left\lbrace {3\xi }\right\rbrace ,\dots ,\left\lbrace {n\xi }\right\rbrace ,\dots }$ рівномірно розподілена в ${\displaystyle (0;1)}$.

Доведення  

Для доведення через критерій рівномірності в тригонометричній формі достатньо оцінити модуль тригонометричної суми при ірраціональному ${\displaystyle \xi _{k}=k\xi }$ і цілому ${\displaystyle m\not =0}$. Для цього можна скористатися найпростішою формулою суми геометричної прогресії.

${\displaystyle {\Bigg \vert }{\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi mk\xi }}}{\Bigg \vert }={\Bigg \vert }{\frac {e^{2\pi m\xi }-e^{2\pi m(n+1)\xi }}{1-e^{2\pi m\xi }}}{\Bigg \vert }={\frac {\vert {e^{2\pi m\xi }-e^{2\pi m(n+1)\xi }}\vert }{\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert }}<{\frac {2}{\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert }}}$

Оскільки величина ${\displaystyle \vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert }$ не залежить від ${\displaystyle n}$, то при кожному окремому фіксованому ${\displaystyle m\not =0}$ з нерівності вище випливає

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi mk\xi i}}}=0}$

 

Література

• Кейперс Л., Нидеррайтер Г. Равномерное распределение последовательностей. — М. : Наука, 1985. — 408 с.
• Касселс Дж.В.С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М. : Издательство иностранной литературы, 1961. — 213 с.