Сигма-скінченна міра

Сигма-скінченна міра в функціональному аналізі — міра, така що довільна вимірна множина може бути представлена у вигляді зліченного об'єднання вимірних множин скінченної міри.

Визначення

Неай ${\displaystyle (X,{\mathcal {R}},\mu )}$ - простір з мірою, де ${\displaystyle X}$ — деяка множина, ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ — задане на ній кільце підмножин, ${\displaystyle \mu }$ — міра визначена на кільці. Міра ${\displaystyle \mu }$ називається σ-скінченною, якщо для довільної множини ${\displaystyle A\in {\mathcal {R}}}$ існує зліченна сім'я вимірних множин ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}}$, така що ${\displaystyle \mu (A_{i})<\infty ,\;i\in \mathbb {N} }$ і

${\displaystyle A=\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}}$. Якщо міра визначена на деякій алгебрі ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ підмножин множини ${\displaystyle X}$, то необхідною і достатньою умовою σ-скінченності є виконання поданих вище умов для єдиної множини ${\displaystyle X}$

Приклади

• Будь-яка скінченна, зокрема ймовірнісна міра скінченна.

• Міра Лебега ${\displaystyle m}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ σ-скінченна, оскільки

${\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }[-i,i],\;m([-i,i])=2i<\infty ,\;i=1,2,\ldots }$.

• Зліченна міра ${\displaystyle \mu }$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$, тобто така, що ${\displaystyle \mu (\{x\})=1,\;\forall x\in \mathbb {R} }$ не є σ-скінченною, оскільки зліченне об'єднання будь-яких множин скінченної міри в цьому випадку буде зліченним, тоді як весь простір незліченний.

Властивості

σ-скінченні міри мають багато властивостей не характерних для інших видів мір, тому вони часто виступають припущеннями при формулюванні теорем теорії мри та інтегралу, зокрема теореми Радона-Нікодима, теореми Фубіні та ін. σ-скінченність також є достатньою умовою єдиності продовження міри заданої на кільці до міри на породженому цим кільцем σ-кільці (теорема Каратеодорі).

Література

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953