Розмах (статистика)

Розмах (англ. range) — в статистиці різниця між найбільшим та найменшим із сукупності числових значень^[1][2].

Розмах є однією з найпростіших мір розсіяння (розкиду) набору числових значень. Дає інформацію про ширину інтервалу, в якому зосереджений весь набір числових даних, геометрично — ширина відрізка, в якому розташовуються всі значення.

Простота розрахунку, наочність та інтуїтивна зрозумілість цієї характеристики розсіяння значень є очевидною перевагою перед такими мірами розсіяння як дисперсія та середнє квадратичне відхилення (стандартне відхилення). Істотним недоліком розмаху є те, що він не містить інформацію про характер розподілу результатів в інтервалі розсіяння та не стійкий до викидів, що певною мірою обмежує його використання.

Математичний опис

Математично розмах вибірки

${\displaystyle R=x_{max}-x_{min}}$,

де ${\displaystyle x_{max},x_{min}}$- відповідно максимальне та мінімальне значення із вибірки.

Розподіл ймовірностей

Оскільки розмах розраховується через крайні значення вибірки, які є випадковими величинами, він, як і будь-яка інша статистична характеристика, є випадковою величиною. Нехай ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ — ряд значень вибірки з функцією розподілу ${\displaystyle F(x)}$ та щільністю ймовірностей ${\displaystyle f(x)}$. В цьому випадку розмах ${\displaystyle R_{n}}$ описується функцією розподілу^[3]:

${\displaystyle G{\bigl (}\omega {\bigr )}=P\{R_{n}\leq \omega \}=n\int _{-\infty }^{\infty }[F(\omega +x)-F(x)]^{n-1}f(x)\,\mathrm {d} x}$.

Розмах та середнє квадратичне відхилення

Якщо значення вибірки розподілені за нормальним законом, то математичне сподівання розмаху^[2]

${\displaystyle E{\bigl (}R{\bigr )}=\alpha _{n}\cdot \sigma }$,

де ${\displaystyle \sigma }$ — середнє квадратичне відхилення,

${\displaystyle \alpha _{n}}$ — деяка функція обсягу вибірки ${\displaystyle n}$, яка табульована.

Таблиця. Граничні значення коефіцієнту ${\displaystyle \alpha _{n}}$ в залежності від обсягу вибірки ${\displaystyle n}$ для ймовірності 0,95^[2].

${\displaystyle n}$	2	3	4	5	6	7	8	9	10
${\displaystyle \alpha _{n}}$	2,77	3,31	3,63	3,86	4,03	4,17	4,29	4,39	4,47

Отже, ${\displaystyle E\left(R/\alpha _{n}\right)=\sigma }$, що демонструє незміщеність оцінки ${\displaystyle R/\alpha _{n}}$. За невеликих значень ${\displaystyle n}$ (${\displaystyle n<10}$) ця оцінка параметра ${\displaystyle \sigma }$ має значну ефективність, однак за великих ${\displaystyle n}$ вона мало ефективна в порівнянні зі статистичною оцінкою середнього квадратичного відхилення ${\displaystyle S}$ (${\displaystyle S={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}}$).

Практичне значення

Залежність ${\displaystyle \sigma \approx R/\alpha _{n}}$ використовується для отримання незміщеної оцінки середнього квадратичного відхилення у випадку малих вибірок в метрології, під час статистичного контролю якості на виробництві, статистичного керування процесами тощо.

Під час контролю технологічних процесів та контролю стабільності процесів вимірювання в лабораторіях широко використовуються як один із найекономічніших типів контрольних карт Шухарта контрольні карти розмахів.

Завдяки простоті розрахунку, наочності та зрозумілості розмах як міра розсіяння також широко використовується в описовій статистиці.

Див. також

• Портал «Математика»

• Розмах показів
• Медіана абсолютних відхилень

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• О. І. Кушлик-Дивульська, Н. В. Поліщук, Б. П. Орел, П. І. Штабалюк. Теорія ймовірностей та математична статистика: навч. посіб. — К. : НТУУ "КПІ", 2014. — 212 с. — ISBN 978-966-622-654-2.
• Н. В. Смирнов, И. В. Дунин-Барковский. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. — М. : "Наука", 1969. — 512 с.(рос.)

• Gumbel, E. J. (1947). The Distribution of the Range. The Annals of Mathematical Statistics. 18 (3): 5142. doi:10.1214/aoms/1177730387. {{cite journal}}: Вказано більш, ніж один |pages= та |page= (довідка)(англ.)

Примітки

1. О. І. Кушлик-Дивульська, 2014.
2. Н. В. Смирнов, 1969.
3. E. J. Gumbel, 1947.