Простір станів — у теорії керування один з основних методів опису поведінки динамічної системи. Рух системи в просторі станів відбиває зміну її станів.
Простір станів зазвичай називають фазовим простором динамічної системи , а траєкторію руху, що зображає точки в цьому просторі — фазовою траєкторією. [B: 1] [B: 2] [A: 1]
У просторі станів створюється модель динамічної системи , що включає набір змінних входу, виходу і стану, пов'язаних між собою диференціальними рівняннями першого порядку, які записуються в матричній формі. На відміну від опису у вигляді передавальної функції та інших методів частотної області, простір станів дозволяє працювати не тільки з лінійними системами і нульовими початковими умовами. Крім того, в просторі станів відносно просто працювати з MIMO -системами.
Структурна схема неперервної лінійної системи, описаної у вигляді змінних стану Для випадку лінійної системи з
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
n
{\displaystyle n}
x
˙
(
t
)
=
A
(
t
)
x
(
t
)
+
B
(
t
)
u
(
t
)
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}
y
(
t
)
=
C
(
t
)
x
(
t
)
+
D
(
t
)
u
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)}
де
x
(
t
)
∈
R
n
{\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}
;
y
(
t
)
∈
R
q
{\displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{q}}
;
u
(
t
)
∈
R
p
{\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} ^{p}}
;
dim
[
A
(
⋅
)
]
=
n
×
n
{\displaystyle \operatorname {dim} [A(\cdot )]=n\times n}
dim
[
B
(
⋅
)
]
=
n
×
p
{\displaystyle \operatorname {dim} [B(\cdot )]=n\times p}
dim
[
C
(
⋅
)
]
=
q
×
n
{\displaystyle \operatorname {dim} [C(\cdot )]=q\times n}
dim
[
D
(
⋅
)
]
=
q
×
p
{\displaystyle \operatorname {dim} [D(\cdot )]=q\times p}
x
˙
(
t
)
:=
d
x
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t):={d\mathbf {x} (t) \over dt}}
:
x
(
⋅
)
{\displaystyle x(\cdot )}
— вектор стану, елементи якого називають станами системи
y
(
⋅
)
{\displaystyle y(\cdot )}
— вектор виходу,
u
(
⋅
)
{\displaystyle u(\cdot )}
— вектор керування,
A
(
⋅
)
{\displaystyle A(\cdot )}
— матриця системи,
B
(
⋅
)
{\displaystyle B(\cdot )}
— матриця керування,
C
(
⋅
)
{\displaystyle C(\cdot )}
— матриця виходу,
D
(
⋅
)
{\displaystyle D(\cdot )}
— матриця прямого зв'язку.Часто матриця
D
(
⋅
)
{\displaystyle D(\cdot )}
прямого зв'язку .
Для дискретних систем запис рівнянь у просторі ґрунтується не на диференціальних , а на різницевих рівняннях:
x
(
n
T
+
T
)
=
A
(
n
T
)
x
(
n
T
)
+
B
(
n
T
)
u
(
n
T
)
{\displaystyle \mathbf {x} (nT+T)=A(nT)\mathbf {x} (nT)+B(nT)\mathbf {u} (nT)}
y
(
n
T
)
=
C
(
n
T
)
x
(
n
T
)
+
D
(
n
T
)
u
(
n
T
)
{\displaystyle \mathbf {y} (nT)=C(nT)\mathbf {x} (nT)+D(nT)\mathbf {u} (nT)}
Нелінійну динамічну систему n-го порядку можна описати у вигляді системи з n рівнянь 1-го порядку:
x
˙
1
=
f
1
(
x
1
(
t
)
;
…
,
x
n
(
t
)
,
u
1
(
t
)
,
…
,
u
m
(
t
)
)
{\displaystyle {\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1}(t);\ldots ,x_{n}(t),u_{1}(t),\ldots ,u_{m}(t))}
⋮
{\displaystyle \vdots }
x
˙
n
=
f
n
(
x
1
(
t
)
;
…
,
x
n
(
t
)
,
u
1
(
t
)
,
…
,
u
m
(
t
)
)
{\displaystyle {\dot {x}}_{n}=f_{n}(x_{1}(t);\ldots ,x_{n}(t),u_{1}(t),\ldots ,u_{m}(t))}
або в компактнішій формі:
x
˙
(
t
)
=
f
(
t
,
x
(
t
)
,
u
(
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))}
y
(
t
)
=
h
(
t
,
x
(
t
)
,
u
(
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {h} (t,\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))}
Перше рівняння — це рівняння стану, друге — рівняння виходу.
У деяких випадках можлива лінеаризація опису динамічної системи для околу робочої точки
(
x
~
,
u
~
)
{\displaystyle (\mathbf {\tilde {x}} ,\mathbf {\tilde {u}} )}
(
u
~
=
c
o
n
s
t
)
{\displaystyle (\mathbf {\tilde {u}} =const)}
x
~
=
c
o
n
s
t
,
{\displaystyle \mathbf {\tilde {x}} =const,}
x
˙
=
f
(
x
~
,
u
~
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {\dot {x}} =\mathbf {f} (\mathbf {\tilde {x}} ,\mathbf {\tilde {u}} )=\mathbf {0} }
Вводячи позначення:
δ
u
=
u
−
u
~
{\displaystyle \delta \mathbf {u} =\mathbf {u} -\mathbf {\tilde {u}} }
δ
x
=
x
−
x
~
{\displaystyle \delta \mathbf {x} =\mathbf {x} -\mathbf {\tilde {x}} }
Розклад рівняння стану
f
(
x
(
t
)
,
u
(
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))}
ряд Тейлора , обмежений першими двома членами дає такий вираз:
f
(
x
(
t
)
,
u
(
t
)
)
≈
f
(
x
~
(
t
)
,
u
~
(
t
)
)
+
δ
f
δ
x
δ
x
+
δ
f
δ
u
δ
u
{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))\approx \mathbf {f} (\mathbf {\tilde {x}} (t),\mathbf {\tilde {u}} (t))+{\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}\delta \mathbf {x} +{\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {u} }}\delta \mathbf {u} }
При взятті часткових похідних вектор-функції
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
матриці Якобі відповідних систем функцій:
δ
f
δ
x
=
[
δ
f
1
δ
x
1
⋯
δ
f
1
δ
x
n
⋮
⋱
⋮
δ
f
n
δ
x
1
⋯
δ
f
n
δ
x
n
]
δ
f
δ
u
=
[
δ
f
1
δ
u
1
⋯
δ
f
1
δ
u
p
⋮
⋱
⋮
δ
f
n
δ
u
1
⋯
δ
f
n
δ
u
p
]
{\displaystyle {\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\end{bmatrix}}\quad {\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {u} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\end{bmatrix}}}
Аналогічно для функції виходу:
δ
h
δ
x
=
[
δ
h
1
δ
x
1
⋯
δ
h
1
δ
x
n
⋮
⋱
⋮
δ
h
q
δ
x
1
⋯
δ
h
q
δ
x
n
]
δ
h
δ
u
=
[
δ
h
1
δ
u
1
⋯
δ
h
1
δ
u
p
⋮
⋱
⋮
δ
h
q
δ
u
1
⋯
δ
h
q
δ
u
p
]
{\displaystyle {\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\end{bmatrix}}\quad {\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {u} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\end{bmatrix}}}
З огляду на
δ
x
˙
=
x
˙
−
x
~
˙
=
x
˙
{\displaystyle \delta \mathbf {\dot {x}} =\mathbf {\dot {x}} -\mathbf {\dot {\tilde {x}}} =\mathbf {\dot {x}} }
A
=
δ
f
δ
x
B
=
δ
f
δ
u
C
=
δ
h
δ
x
D
=
δ
h
δ
u
{\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}\quad \mathbf {B} ={\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {u} }}\quad \mathbf {C} ={\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {x} }}\quad \mathbf {D} ={\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {u} }}}
Лінеаризована матриця системи для моделі маятника в околі точки рівноваги
(
x
~
1
=
0
)
{\displaystyle \left({\tilde {x}}_{1}=0\right)}
δ
f
δ
x
=
(
0
1
−
g
l
cos
x
~
1
−
k
m
)
=
(
0
1
−
g
l
−
k
m
)
{\displaystyle {\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}=\left({\begin{matrix}0&\ 1\\-{\frac {g}{l}}\cos {{\tilde {x}}_{1}}&\ -{\frac {k}{m}}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0&\ 1\\-{\frac {g}{l}}&\ -{\frac {k}{m}}\end{matrix}}\right)}
За відсутності тертя в підвісі k = 0математичного маятника :
x
¨
=
−
g
l
x
{\displaystyle {\ddot {x}}=-{\frac {g}{l}}x}
Андронов А. А. , Леонтович Е. А. , Гордон И. М. , Майер А. Г. . Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. — М . : Наука, 1967.
Андронов А. А. , Витт А. А. , Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр.. — М . : Наука, 1981. — 918 с.
![{\displaystyle \operatorname {dim} [A(\cdot )]=n\times n}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdb067922e2d625e2d0aaab3b6e54239cdd4f759)
![{\displaystyle \operatorname {dim} [B(\cdot )]=n\times p}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e273a2878042f414ada7b454096d2d66125257a6)
![{\displaystyle \operatorname {dim} [C(\cdot )]=q\times n}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aa4ac576864f9f09ea580fb19bd480fd12a68be)
![{\displaystyle \operatorname {dim} [D(\cdot )]=q\times p}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/759072ec7232e15a1823aec56b668df529d57dee)
