Квазігрупа з одиницею називається лупа (англ.loop— «петля»).
Є два еквівалентні визначення:
Квазігрупа (Q, *)— це множинаQ з бінарною операцією *: Q × Q → Q (тобто магма), такою що для довільних a, b ∈ Q існують і єдині x, y ∈ Q, що:
a * x = b,
y * a = b.
Розв'язки цих рівнянь записують так:
x = a \ b,
y = b / a.
Операції \ та / називають лівим та правим діленням. Якщо визначена тільки одна з операцій, то таку структуру називають ліва чи права квазігрупа, відповідно.
Таблиця множення скінченної квазігрупи утворює латинський квадрат. І навпаки, довільний латинський квадрат може бути вибраний за таблицю множення, щоб утворити квазігрупу.
Ліва квазігрупа є скорочуваною зліва якщо ∀a, b,c ∈ Q: з (ab = ac) слідує (b = c).
Права квазігрупа є скорочуваною справа якщо ∀a, b,c ∈ Q: з (ba = ca) слідує (b = c).
Квазігрупа є скорочуваною зліва та справа. Кажуть— має властивість скорочення.
Властивість обернення
Одиничний елемент лупи є єдиним, тому для кожного елемента лупи існує єдиний лівий та правийобернений елемент:
a L = e / a, a La = e,
a R = a \ e, a a R = e.
Примітка: використали праве та ліве ділення.
Лупа має обернення зліва якщо задовільняє тотожність xL (xy)=y, чи еквівалентну x\y=xL y.
Лупа має обернення справа якщо задовільняє тотожність (yx)xR=y, чи еквівалентну y/x=y xR.
Лупа має антиафтоморфне обернення якщо задовільняє тотожність (xy)L = yL xL, чи еквівалентну (xy)R = yR xR.
Лупа має слабе обернення якщо задовільняє тотожність (xy)L x=yL, чи еквівалентну x(yx)R=yR.
Якщо лупа задовільняє дві з вищеперечислених властивостей, то вона задовільняє всі чотири властивості і кажуть— має властивість обернення. І тоді xL = xR для всіх елементів.
Гомоморфізм квазігруп чи луп це відображення f: Q → P таке що f(xy) = f(x)f(y). Воно зберігає ліве та праве ділення а також одиницю (якщо існує).
Гомотопія та ізотопія
Гомотопія квазігруп з Q в P є трійка (α, β, γ) відображень з Q в P такі, що
Гомоморфізм квазігруп є гомотопією, де всі відображення збігаються.
Ізотопія це гомотопія, в якій всі три відображення (α, β, γ) є бієктивними.
Автотопія— це ізотопія квазігрупи в себе.
Довільна квазігрупа ізотопна лупі. Якщо лупа ізотопна групі, тоді вона є групою. Хоча, квазігрупа, що ізотопна групі, може не бути групою.