Полікруг

Полікруг (також поліциліндр, полідиск) — геометричний багатовимірний об'єкт, що є добутком звичайних кругів. Полікруги часто використовуються в комплексному аналізі при вивченні функцій багатьох комплексних змінних, зокрема часто інтегральні теореми для багатьох змінних формулюються через інтеграли на границі полікруга.

Означення

Означення тут буде дано для комплексного простору ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ Аналоги всіх означень легко сформулювати також для простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}$

Якщо позначити ${\displaystyle D(z,r)}$ відкритий круг з центром в точці z і радіусом r в комплексній площині, тоді відкритим полікругом розмірності n з мультирадіусом ${\displaystyle (r_{1},\dots ,r_{n})}$ і центром в точці ${\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n}\in \mathbb {C} ^{n})}$ називається множина

${\displaystyle D(z_{1},r_{1})\times \dots \times D(z_{n},r_{n}).}$

Іншими словами відкритим полідиском з мультирадіусом ${\displaystyle (r_{1},\dots ,r_{n})}$ і центром в точці ${\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n}\in \mathbb {C} ^{n})}$ є множина:

${\displaystyle \{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in {\mathbf {C} }^{n}\mid \vert z_{k}-w_{k}\vert <r_{k},\;\;\forall k=1,\dots ,n\}.}$

Подібним чином можна визначити і замкнутий полікруг:

${\displaystyle \{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in {\mathbf {C} }^{n}\mid \vert z_{k}-w_{k}\vert \leqslant r_{k},\;\;\forall k=1,\dots ,n\}.}$

Він є декартовим добутком замкнутих кругів.

Межа полікруга може бути записана так:

${\displaystyle \partial D(z,r)=\{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in {\mathbf {C} }^{n}\mid \vert z_{k}-w_{k}\vert \leqslant r_{k},\forall k=1,\dots ,n\;\land \;\exists j\vert z_{j}-w_{j}\vert =r_{j}\},}$

Також важливою є така частина межі, як кістяк полікруга, що визначений формулою:

${\displaystyle T(z,r)=\{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in {\mathbf {C} }^{n}\mid \vert z_{k}-w_{k}\vert =r_{k},\forall k=1,\dots ,n\},}$

Полікруг і багатовимірна куля

Окрім полікруга, в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ також визначена стандартна відкрита куля

${\displaystyle \{w\in \mathbf {C} ^{n}\mid \lVert z-w\rVert <r\},}$

де нормою є евклідова норма в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

Коли ${\displaystyle n>1}$, відкриті полікруги і відкриті кулі не є біголоморфно еквівалентними тобто між ними не існує голоморфного бієктивного відображення з голоморфним оберненим відображенням. Цей факт був доведений Анрі Пуанкаре в 1907 році. Пуанкаре показав, що групи автоморфізмів відкритих куль і полікругів мають різні розмірності як групи Лі.

Узагальнення

Очевидним узагальненням полікругів в комплексному аналізі є поліобласті :${\displaystyle D_{1}\times \dots \times D_{n},}$ що є добутком областей в комплексній площині. Замкнуті поліобласті, межі та кістяки в цьому випадку визначаються аналогічно до попереднього.

Полікруг є частковим випадком логарифмічно опуклої області Рейнхарта.

Література

• Steven G Krantz (Jan 1, 2002). Function Theory of Several Complex Variables. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2724-3. (англ.)
• John P D'Angelo, D'Angelo P D'Angelo (Jan 6, 1993). Several Complex Variables and the Geometry of Real Hypersurfaces. CRC Press. ISBN 0-8493-8272-6. (англ.)