Наближення у середньому

Наближення у середньому^[1] — це наближення заданої та інтегровної на відрізку ${\displaystyle [a,\ b]}$ функції ${\displaystyle f(t)}$ функцією ${\displaystyle \varphi (t)}$, коли за міру похибки прийнято величину

${\displaystyle \mu (f,\varphi )=\int _{a}^{b}\left|f(t)-\varphi (t)\right|dt.}$

У більш загальному випадку, коли

${\displaystyle \mu (f,\varphi )=\int _{a}^{b}\left|f(t)-\varphi (t)\right|^{q}d\sigma (t)\ \ (q>0),}$

де ${\displaystyle \sigma (t)}$ — неспадна на ${\displaystyle [a,\ b]}$ відмінна від константи функція, говорять про серодньостепеневе наближення^[1] з показником ${\displaystyle q}$ відносно розподілу ${\displaystyle d\sigma (t)}$. Якщо ${\displaystyle \sigma (t)}$ абсолютно неперервна та ${\displaystyle p(t)=\sigma '(t)}$, отримують серодньостепеневе.наближення з вагою ${\displaystyle p(t)}$, якщо ж ${\displaystyle \sigma (t)}$ — кусково-постійна функция зі скачками ${\displaystyle c_{k}}$ у точках ${\displaystyle t_{k}}$ з ${\displaystyle [a,\ b]}$, то приходять до зваженого серодньостепеневого наближення в системі точок ${\displaystyle \{t_{k}\}}$ з мірою похибки

${\displaystyle \mu (f,\varphi )=\sum _{k}c_{k}|f(t_{k})-\varphi (t_{k})|^{q}.}$

Ці поняття природним чином узагальнюються на випадок функцій багатьох змінних та функцій на многовидах.

Література

• A. Atieg, G.A. Watson, Use of ${\displaystyle l_{p}}$ norms in fitting curves and surfaces to data // ANZIM J., 45 (E) (2004), pp. C187-C200.
• A. J. Bomba and O. M. Hladka, Problems of Identification of the Parameters of Quasiideal Filtration Processes in Nonlinear Layered Porous Media, Journal of Mathematical Sciences, Vol. 220, Issue 2, pp. 213-225, 2017.
• L. Collatz and J. Albrecht, Aufgaben aus der Angewandten Mathematik I. Gleichungen in einer oder mehreren Variablen, Approximationen, Vieweg, Braunschweig, 1972.
• L. Collatz and W. Krabs, Approximationstheorie. Tschebyscheffsche Approximation mit Anwendungen, Teubner, Stuttgart, 1973.
• C. B. Dunham, Discrete Chebyshev Approximation with Interpolation, International Journal of Computer Mathematics, Vol. 11. No. 3-4, Pp. 243-245 (1982).
• C. B. Dunham, Remez algorithm for Chebyshev approximation with interpolation. Computing 28, 75–78 (1982).
• C. Dunham and C. Zhu, “Strong uniqueness of nonlinear Chebyshev approximation (with interpolation),” Proc. 20th Manitoba Conf. Congr. Numerical Mathematics and Computing, Numerantium 80, Winnipeg, Can., 1990, Winnipeg, 1991, pp. 161–169.
• Геращенко О. А., Гордов А. Н., Еремина А. К. и др. Температурные измерения. Справочник. Отв. ред. Геращенко О. А.; АН УССР. Ин-т проблем энергосбережения. — Киев; Наук, думка, 1989. — 704 с.
  O. A. Gerashchenko, A. I. Gordov, and A. K. Eremina. Temperature measurements [in Russian], Naukova Dumka, Kyiv, 1989.
• Dragan Jukić. On the existence of the best discrete approximation in lp norm by reciprocals of real polynomials // Journal of Approximation Theory. Vol. 156, Issue 2, Pages 212-222 (2009).
• В. П. Кондратьев. Равномерная аппроксимация с ограничениями интерполяционного типа // Алгоритмы и программы приближения функций. — Свердловск: Ин-т матем. и мех. УНЦ АН СССР. — 1981. — С. 40-69.
  V. P. Kondrat’ev, Uniform approximation with constraints of interpolation type, in: Algorithms and programs for approximating functions [in Russian], IMM AN USSR, Sverdlovsk, 1981, pp. 40–69.
• Н. П. Корнейчук, А.А. Лигун, В.Г. Доронин. Аппроксимация с ограничениями. — Наукова думка, Киев, 1982. — 254 с
  N. P,. Korneychuk, A. A. Ligun, V. G. Doronin, Approximation with restrictions [in Russian], Naukova Dumka, Kyiv, 1982.
• Л. С. Мельничок, Б. А. Попов. Наилучшее приближение табличных функций с условием // Алгоритмы и программы для вычисления функций на ЭЦВМ. – Киев: Ин-т кибернетики, 1977. –Вып.4. – С. 189–200.
  L. S. Melnychok and B. A. Popov, Best approximation of table functions with a condition, in: Algorithms and programs for calculating functions on a digital computer [in Russian], Institute of Cybernetics, Kyiv, Issue 4, 1977, pp. 95-102.
• Yuji Nakatsukasa and Lloyd N. Trefethen^[en], An Algorithm for Real and Complex Rational Minimax Approximation SIAM Journal on Scientific Computing, 2020, Vol. 42, No. 5 : pp. A3157-A3179. https://doi.org/10.1137/19M1281897
• Б. А. Попов, Г. С. Теслер. Приближение функций для технических приложений. – Киев: Наук. думка. 1980. – 352 с.
  B. A. Popov and G. S. Tesler, Approximation of Functions for Engineering Applications [in Russian], Naukova Dumka, Kyiv, 1980.
• Е. Я. Ремез. Основы численных методов чебышёвского приближения. — Киев: Наукова думка, 1969. — 624 с.
  E. Ya. Remez, Fundamentals of the Numerical Methods of Chebyshev Approximation [in Russian], Naukova Dumka, Kyiv, 1969.
• А. Ф. Верлань, Б. Б. Адбусадаров, А. А. Игнатенко, Н. А. Максимович. Методы и устройства интерпретации экспериментальных зависимостей при исследовании и контроле энергетических процессов. [Архівовано 11 січня 2022 у Wayback Machine.] – Киев: Наукова думка, 1993. – 208 с.
  A. F. Verlan, B. B. Adbusadarov, A. A. Ignatenko, and N. N. Maksimovich. Methods and devices for interpreting experimental dependencies in the study and control of energy processes [in Russian], Naukova Dumka, Kyiv, 1993.

Примітки

1. Н. П. Корнейчук, В. П. Моторный. Приближение в среднем [Архівовано 10 січня 2022 у Wayback Machine.] Математическая энциклопедия
   Approximation in the mean [Архівовано 13 січня 2022 у Wayback Machine.] in Encyclopedia of Mathematics

Див. також

• Апроксимація