Мультиіндекс (або мульти-індекс) — узагальнення поняття цілочислового індексу до векторного індексу, яке використовується в різноманітних галузях математики, пов'язаних з функціями багатьох змінних. Використання мультиіндексу дозволяє спростити (записати у коротшій формі) математичні формули.
n-вимірний мультиіндекс — це вектор
![{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/812eb76cff024092c266a999bb10b03513914d54)
складений з невід'ємних чисел. Для двох мультиіндексів
і вектора
вводяться:
- Покомпоненне додавання і віднімання
![{\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6b5d7d524ee5390e8ad81b8ee3d74d81261d70)
![{\displaystyle \alpha \leqslant \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leqslant \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbff538a9f7e58c88d890da40b56fbf94c4ee7d6)
- Абсолютне значення як сума компонент
![{\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7832f93f42cce41671070ecf5a4135255fb4c93a)
- !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}
![{\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5ec408016ade71f03fa953438c6e9560a32a05)
![{\displaystyle {\alpha \choose \beta }={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\cdots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e863345563c919d2be7c4da27b476be83e9b796b)
![{\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fdd8717184ad0646712c80da26c6abc93862e14)
де ![{\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e28aeb23d73561e2073c54f9fef980f15745b1c8)
Використання мультиіндекса дозволяє без проблем узагальнити багато з формул класичного аналізу на випадок багатьох змінних. Ось деякі приклади:
Узагальнення бінома Ньютона на багатовимірний випадок:
- !}}\,x^{\alpha }=\sum _{|\alpha |=k}{\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}\,x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}
![{\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\biggr )}^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\frac {k!}{\alpha !}}\,x^{\alpha }=\sum _{|\alpha |=k}{\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}\,x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ec43f75e59b25fd148d3d1ddd1746b5cc7d390)
Для гладких функцій f і g
![{\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leqslant \alpha }{\alpha \choose \nu }\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d71749c3c6d8588ca5a66a48742180d50a2bb6)
Для аналітичної функції f від n змінних справедливий розклад
- !}}h^{\alpha }}.}
![{\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} \cup \{0\}}^{}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c05ab7adb27dd0de0bc6785d0d773035edf4da08)
Для достатньо гладких функцій виконується формула Тейлора
- !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}
![{\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leqslant n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc6e53d1d9b5beb18baae2186bf7f4f82104dd8d)
де останній член (залишок) може бути записаний в різних формах. Наприклад, в (інтегральній) формі Коші
- !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}
![{\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7c54a9fbc554936f0927b1cf90b89c86aa506b0)
Формальний оператор взяття частинної похідної N-го порядку в n-вимірному просторі записується наступним чином:
![{\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8337065ee25c08f25c133f4ddb728bd9e8dd8231)
Для достатньо гладких функцій в обмеженій області
справедлива формула
![{\displaystyle \int _{\Omega }{}{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6542070b9eaa44eaab4d070c9706900d637faf26)
Ця формула використовується при означенні узагальнених функцій.