Лінійчата поверхня

В диференціальній геометрії, Лінійчата поверхня — поверхня, утворена рухом прямої лінії. Прямі, що належать цій поверхні, називаються прямолінійними твірними, а кожна крива, що перетинає всі прямолінійні твірні називається напрямною кривою. Якщо ${\displaystyle p(u)}$ — радіус-вектор напрямної, a ${\displaystyle m=m(v)}$ — одиничний вектор твірної, що проходить через ${\displaystyle p(u)}$ , то радіус-вектор лінійчатої поверхні є

${\displaystyle r=p(u)+vm(u),}$

Лінійчатий гелікоїд

Лінійчатий гіперболоїд

де ${\displaystyle v}$ — координата точки на твірній.

Властивості

• Лінійчата поверхня характеризується тим, що її асимптотична мережа — напівгеодезична.
• Теорема Бельтрамі. Лінійчату поверхню завжди можна і до того ж єдиним чином зігнути так, що довільна лінія на ній стане асимптотичною.
• Теорема Бонні. Якщо лінійчата поверхня ${\displaystyle F}$, що не розгортається, згинається в лінійчату поверхню ${\displaystyle F'}$, то або їх твірні відповідають одна одній, або обидві вони вигинаються в квадрику, на якій мережа, що відповідає сімействам твірних — асимптотична.
• Єдина мінімальна лінійчата поверхня — гелікоїд.
• Лінійчата поверхня обертання — однопорожнинний гіперболоїд, який може вироджуватись в циліндр, конус або площину.
• Якщо всі прямолінійні твірні лінійчатої поверхні паралельні одній площині, то вона є поверхнею Каталана.

Див. також

• Поверхня обертання

Посилання

• Weisstein, Eric W. Ruled Surface(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Ruled surface pictures from the University of Arizona [Архівовано 26 вересня 2020 у Wayback Machine.]
• Examples of developable surfaces on the Rhino3DE website [Архівовано 10 листопада 2020 у Wayback Machine.]

• Портал «Математика»