Ланцюгове правило (теорія ймовірності)

У теорії ймовірностей ланцюго́ве пра́вило (що також називають зага́льним пра́вилом до́бутку^[1][2]) дає можливість обчислювати будь-який член спільного розподілу набору випадкових змінних із застосуванням лише умовних імовірностей. Це правило є корисним у дослідженні баєсових мереж, що описують розподіл імовірності в термінах умовних імовірностей.

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Ланцюгове правило (значення).

Розгляньмо пронумерований набір наборів ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$. Щоби знайти значення цього члена спільного розподілу, ми можемо застосувати визначення умовної ймовірності для отримання

${\displaystyle \mathrm {P} (A_{n},\ldots ,A_{1})=\mathrm {P} (A_{n}|A_{n-1},\ldots ,A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{n-1},\ldots ,A_{1})}$

Повторення цього процесу з кожним кінцевим елементом створює добуток

${\displaystyle \mathrm {P} \left(\bigcap _{k=1}^{n}A_{k}\right)=\prod _{k=1}^{n}\mathrm {P} \left(A_{k}\,{\Bigg |}\,\bigcap _{j=1}^{k-1}A_{j}\right)}$

Для чотирьох змінних ланцюгове правило продукує такий добуток умовних імовірностей:

${\displaystyle \mathrm {P} (A_{4},A_{3},A_{2},A_{1})=\mathrm {P} (A_{4}\mid A_{3},A_{2},A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{3}\mid A_{2},A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{2}\mid A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{1})}$

Це правило ілюструється таким прикладом. Урна 1 містить 1 чорну кулю та 2 білих кулі, а урна 2 містить 1 чорну кулю та 3 білих кулі. Припустімо, що ми обираємо урну навмання, і потім беремо кулю з цієї урни. Нехай подією ${\displaystyle A}$ буде обрання першої урни: ${\displaystyle \mathrm {P} (A)=\mathrm {P} (\sim A)=1/2}$. Нехай подією ${\displaystyle B}$ буде шанс взяти білу кулю. Шанс взяти білу кулю за умови, що ми обрали першу урну, становить ${\displaystyle \mathrm {P} (B\mid A)=2/3}$. Подія ${\displaystyle A,B}$ буде їхнім перетином: обрання першої урни та взяття білої кулі з неї. Цю ймовірність може бути знайдено за ланцюговим правилом для ймовірності:

${\displaystyle \mathrm {P} (A,B)=\mathrm {P} (B\mid A)\mathrm {P} (A)=2/3\times 1/2=1/3}$.

Примітки

1. Schum, 1994.
2. Klugh, 2013.

Джерела

• Schum, David A. (1994). The Evidential Foundations of Probabilistic Reasoning. Northwestern University Press. с. 49. ISBN 978-0-8101-1821-8. (англ.)
• Klugh, Henry E. (2013). Statistics: The Essentials for Research (вид. 3rd). Psychology Press. с. 149. ISBN 1-134-92862-9. (англ.)
• Russell, Stuart J.; Norvig, Peter (2003), Artificial Intelligence: A Modern Approach (англ.) (вид. 2nd), Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall, с. 496, ISBN 0-13-790395-2
• «The Chain Rule of Probability», developerWorks, Nov 3, 2012. (англ.)