Клас Понтрягіна

Клас Понтрягіна — характеристичний клас, означений для дійсних векторних розшарувань. Уведені в 1947 році радянським математиком Л. С. Понтрягіним.

Для векторного розшарування ${\displaystyle \xi }$ з базою ${\displaystyle B}$ класи Понтрягіна позначаються символом ${\displaystyle p_{i}(\xi )\in H^{4i}(B)}$ і покладаються рівними

${\displaystyle p_{i}(\xi )=(-1)^{i}c_{2i}(\xi \otimes \mathbb {C} )}$,

де ${\displaystyle \xi \otimes \mathbb {C} }$ — комплексифікація розшарування ${\displaystyle \xi }$, a ${\displaystyle c_{i}}$ — класи Черна.

Повним класом Понтрягіна називається неоднорідний характеристичний клас

${\displaystyle p(\xi )=1+p_{1}(\xi )+p_{2}(\xi )+\dots }$.

Якщо ${\displaystyle B}$ — гладкий многовид і розшарування ${\displaystyle \xi }$ явно не вказується, то припускається що ${\displaystyle \xi }$ є дотичним розшаруванням ${\displaystyle B}$.

Властивості

• Через класи Понрягіна виражаються L-клас Хірцебруха і ${\displaystyle {\hat {A}}}$-клас.
• Якщо ${\displaystyle \xi }$, ${\displaystyle \eta }$ — два дійсних векторних розшарування над спільною базою, то клас когомологій
      ${\displaystyle p(\xi \oplus \eta )-p(\xi )p(\eta )}$ має порядок не більше двох.
  • Зокрема, якщо кільце коефіцієнтів містить 1/2, то виконується рівність
        ${\displaystyle p(\xi \oplus \eta )=p(\xi )p(\eta )}$.
• Класи Понтрягіна з раціональними коефіцієнтами двох гомеоморфних многовидів збігаються (теорема С. П. Новікова)
  • Відомий приклад, який показує, що цілочисельні класи Понтрягіна не є топологічними інваріантами.
• Для 2k-вимірного розшарування ${\displaystyle \xi }$ справедлива рівність
      ${\displaystyle p_{k}(\xi )=e(\xi )^{2},}$
  де ${\displaystyle e(\xi )}$ позначає клас Ейлера.

Література

• Понтрягин Л. С, «Матем. сб.», 1947, т. 21, с. 233—84;
• Новиков СП., «Докл. АН СССР», 1965, т. 163, с. 298–300;
• Дж. Милнор, Дж. Сташеф. Характеристические классы = Characteristic classes. — М : Мир, 1979. — 371 с. — 6500 прим.