Обернена функція

Обернена функція (обернене відображення) до даної функції f — в математиці така функція g, яка в композиції з f дає тотожне відображення.

Функція ${\displaystyle f}$ і обернена їй функція ${\displaystyle f^{-1}}$. Якщо ${\displaystyle f(a)=3}$, то ${\displaystyle f^{-1}(3)=a}$

Нехай f: X → Y та g: Y → X деякі функції (відображення).

Визначення

Функція ${\displaystyle g:Y\to X}$ називається оберненою до функції ${\displaystyle f:X\to Y}$, якщо виконані наступні рівності:

• ${\displaystyle f(g(y))=y}$ для всіх ${\displaystyle y\in Y;}$
• ${\displaystyle g(f(x))=x}$ для всіх ${\displaystyle x\in X.}$

Існування

Щоб знайти обернену функцію, потрібно розв'язати рівняння ${\displaystyle y=f(x)}$ щодо ${\displaystyle x}$. Якщо воно має більше ніж один корінь, то функції, оберненої до ${\displaystyle f}$ не існує. Таким чином, функція ${\displaystyle f(x)}$ обернена на проміжку ${\displaystyle (a;b)}$тоді і тільки тоді, коли на цьому проміжку вона взаємно-однозначна.

Для неперервної функції ${\displaystyle F(y)}$ виразити ${\displaystyle y}$ із рівняння ${\displaystyle x-F(y)=0}$ можливо тільки в тому випадку, коли функція ${\displaystyle F(y)}$ строго монотонна (див. теорема про неявну функцію). Тим не менш, неперервну функцію завжди можна обернути на проміжках її строгої монотонності. Наприклад, ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$є оберненою функцією до ${\displaystyle x^{2}}$ на ${\displaystyle [0,+\infty )}$, хоча на проміжку ${\displaystyle (-\infty ,0]}$обернена функція інша: ${\displaystyle -{\sqrt {x}}}$.

Якщо композиція функцій f o g = E_Y, де E: Y→Y — тотожне відображення, то f має назву лівого оберненого відображення (функції) до g, а g - правого оберненого відображення (функції) до f.

Якщо справедливо і f o g = E_Yі g o f = E_X, то g має назву оберненого відображення (оберненої функції) до f і позначається як f^-1. Тобто f^-1(f(x))=f(f^-1(x))=x.

Приклади

• Якщо ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;F(x)=a^{x}}$, де ${\displaystyle a>0,}$ то ${\displaystyle F^{-1}(x)=\log _{a}x.}$
• Якщо ${\displaystyle F(x)=ax+b,\;x\in \mathbb {R} }$, де ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ фіксовані постійні і ${\displaystyle a\neq 0}$, то ${\displaystyle F^{-1}(x)={\frac {x-b}{a}}.}$
• Якщо ${\displaystyle F(x)=x^{n},x\geq 0,n\in \mathbb {Z} }$, то ${\displaystyle F^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}.}$

Не слід плутати позначку f^-1 з позначенням степеня.

Наприклад, для функції, визначеної як f(x) → 3x + 2, оберненою функцією буде x → (x - 2) / 3. Це часто записується як:

${\displaystyle \ f\colon x\to 3x+2}$

${\displaystyle \ f^{-1}\colon x\to (x-2)/3}$

Властивості

• Областю визначення ${\displaystyle F^{-1}}$ є множина ${\displaystyle Y}$, а областю значень множина ${\displaystyle X}$.
• При побудові маємо:

${\displaystyle y=F(x)\Leftrightarrow x=F^{-1}(y)}$

або

${\displaystyle F\left(F^{-1}(y)\right)=y,\;\forall y\in Y}$,

${\displaystyle F^{-1}(F(x))=x,\;\forall x\in X}$,

або коротше

${\displaystyle F\circ F^{-1}=\mathrm {id} _{Y}}$,

${\displaystyle F^{-1}\circ F=\mathrm {id} _{X}}$,

де ${\displaystyle \circ }$ означає композицію функцій, а ${\displaystyle \mathrm {id} _{X},\mathrm {id} _{Y}}$ — Тотожні відображення на ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$.

• Функція ${\displaystyle F}$ є оберненою до ${\displaystyle F^{-1}}$:

${\displaystyle \left(F^{-1}\right)^{-1}=F}$.

• Нехай ${\displaystyle F:X\subset \mathbb {R} \to Y\subset \mathbb {R} }$ — бієкція. Нехай ${\displaystyle F^{-1}:Y\to X}$ її обернена функція. Тоді графіки функцій ${\displaystyle y=F(x)}$ і ${\displaystyle y=F^{-1}(x)}$ симетричні відносно прямої ${\displaystyle y=x}$.

Розкладання в степеневий ряд

Обернена функція аналітичної функції може бути представлена у вигляді степеневого ряду:

${\displaystyle F^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(x_{0}){\frac {(y-f(x_{0}))^{k}}{k!}},}$

де коефіцієнти ${\displaystyle A_{k}}$ задаються рекурсивною формулою:

${\displaystyle A_{k}(x)={\begin{cases}A_{0}(x)=x\\A_{n+1}(x)={\frac {A_{n}'(x)}{F'(x)}}\end{cases}}}$

Див. також

• Функція (математика)
• Тотожна функція
• Композиція функцій
• Теорема про обернену функцію
• Обернений оператор

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Функція, обернена до даної // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 176. — 594 с.
• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)