Екзотичні тригонометричні функції — функції кута, які в теперішній час використовуються рідше за основні тригонометричні функції (синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс та косеканс). До них належать:
Визначення тригонометричних функций через коло. Відрізки CD та DE позначають версинус та ексеканс відповідно Синус-верзус (інші назви: версинус , синус версус , також «стрілка дуги» ). Визначається як
versin
ϑ
=
1
−
cos
ϑ
=
2
sin
2
ϑ
2
.
{\displaystyle \operatorname {versin} \,\vartheta =1-\cos \vartheta =2\sin ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}.}
vers
ϑ
,
sin
vers
ϑ
.
{\displaystyle \operatorname {vers} \,\vartheta ,\quad \sin \,\operatorname {vers} \,\vartheta .}
Косинус-верзус (інші назви: коверсинус , косинус версус ). Визначається як
vercos
ϑ
=
versin
(
π
2
−
ϑ
)
=
1
−
sin
ϑ
.
{\displaystyle \operatorname {vercos} \,\vartheta =\operatorname {versin} \,\left({\frac {\pi }{2}}-\vartheta \right)=1-\sin \vartheta .}
cvs
ϑ
,
cos
vers
ϑ
.
{\displaystyle \operatorname {cvs} \,\vartheta ,\quad \cos \,\operatorname {vers} \,\vartheta .}
Гаверсинус (англ. haversinus , скорочення від half the versed sine ). Визначається як
haversin
ϑ
=
versin
ϑ
2
=
sin
2
ϑ
2
.
{\displaystyle \operatorname {haversin} \,\vartheta ={\frac {\operatorname {versin} \,\vartheta }{2}}=\sin ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}.}
hav
ϑ
.
{\displaystyle \operatorname {hav} \,\vartheta .}
Ексеканс (англ. exsecant ) чи екссеканс . Визначається як
exsec
ϑ
=
sec
ϑ
−
1.
{\displaystyle \operatorname {exsec} \,\vartheta =\sec \vartheta -1.}
Екскосеканс :
excsc
ϑ
=
exsec
(
π
2
−
ϑ
)
=
cosec
ϑ
−
1.
{\displaystyle \operatorname {excsc} \,\vartheta =\operatorname {exsec} \,\left({\frac {\pi }{2}}-\vartheta \right)=\operatorname {cosec} \,\vartheta -1.}
versin
(
θ
)
:=
2
sin
2
(
θ
2
)
=
1
−
cos
(
θ
)
{\displaystyle {\textrm {versin}}(\theta ):=2\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1-\cos(\theta )\,}
vercosin
(
θ
)
:=
2
cos
2
(
θ
2
)
=
1
+
cos
(
θ
)
{\displaystyle {\textrm {vercosin}}(\theta ):=2\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1+\cos(\theta )\,}
coversin
(
θ
)
:=
versin
(
π
2
−
θ
)
=
1
−
sin
(
θ
)
{\displaystyle {\textrm {coversin}}(\theta ):={\textrm {versin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1-\sin(\theta )\,}
covercosin
(
θ
)
:=
vercosin
(
π
2
−
θ
)
=
1
+
sin
(
θ
)
{\displaystyle {\textrm {covercosin}}(\theta ):={\textrm {vercosin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1+\sin(\theta )\,}
haversin
(
θ
)
:=
versin
(
θ
)
2
=
1
−
cos
(
θ
)
2
{\displaystyle {\textrm {haversin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {versin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}\,}
havercosin
(
θ
)
:=
vercosin
(
θ
)
2
=
1
+
cos
(
θ
)
2
{\displaystyle {\textrm {havercosin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {vercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\cos(\theta )}{2}}\,}
hacoversin
(
θ
)
:=
coversin
(
θ
)
2
=
1
−
sin
(
θ
)
2
{\displaystyle {\textrm {hacoversin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {coversin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\sin(\theta )}{2}}\,}
hacovercosin
(
θ
)
:=
covercosin
(
θ
)
2
=
1
+
sin
(
θ
)
2
{\displaystyle {\textrm {hacovercosin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {covercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\sin(\theta )}{2}}\,}
d
d
x
v
e
r
s
i
n
(
x
)
=
sin
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {versin} (x)=\sin {x}}
∫
v
e
r
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
−
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {versin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\sin {x}+C}
d
d
x
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
=
−
sin
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {vercosin} (x)=-\sin {x}}
∫
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
+
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {vercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\sin {x}+C}
d
d
x
c
o
v
e
r
s
i
n
(
x
)
=
−
cos
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {coversin} (x)=-\cos {x}}
∫
c
o
v
e
r
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
+
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {coversin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\cos {x}+C}
d
d
x
c
o
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
=
cos
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {covercosin} (x)=\cos {x}}
∫
c
o
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {covercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\cos {x}+C}
d
d
x
h
a
v
e
r
s
i
n
(
x
)
=
sin
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {haversin} (x)={\frac {\sin {x}}{2}}}
∫
h
a
v
e
r
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
−
sin
x
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {haversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\sin {x}}{2}}+C}
d
d
x
h
a
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
=
−
sin
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {havercosin} (x)={\frac {-\sin {x}}{2}}}
∫
h
a
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
+
sin
x
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {havercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\sin {x}}{2}}+C}
d
d
x
h
a
c
o
v
e
r
s
i
n
(
x
)
=
−
cos
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacoversin} (x)={\frac {-\cos {x}}{2}}}
∫
h
a
c
o
v
e
r
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
+
cos
x
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {hacoversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\cos {x}}{2}}+C}
d
d
x
h
a
c
o
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
=
cos
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacovercosin} (x)={\frac {\cos {x}}{2}}}
∫
h
a
c
o
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
−
cos
x
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {hacovercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\cos {x}}{2}}+C}
Версинус, коверсинус та гаверсинус були зручні для логарифмів, оскільки вони всюди невід'ємні, але зараз, за наявності обчислювальної техніки це вже не актуально.
Також використовуються для опису відповідних сигналів в електроніці (наприклад, в функціональних генераторах ). Гаверсинус також використовується в розрахунках навігації для уникнення похибок округлення в системах обмеженої розрядності.
