Диференційовний многовид

Диференційовний многовид — локально евклідовий простір, наділений диференціальною структурою. Диференціальні многовиди є природною базою для побудови диференціальної геометрії. Там на диференціальних многовидах вводяться додаткові нескінченно малі структури — орієнтація, метрика, зв'язність і т. д., і вивчаються ті властивості, пов'язані з цими об'єктами, що є інваріантними щодо групи дифеоморфізмів, зберігаючих додаткову структуру. З другого боку, використання тієї або іншої структури дозволяє досліджувати будову самого диференціального многовиду. Простий приклад - вираз характеристичних класів через кривину диференціального многовиду, наділеного лінійною зв'язністю.

Визначення

Нехай X — гаусдорфів топологічний простір. Якщо для кожної точки ${\displaystyle x\in X}$ знайдеться її окіл U гомеоморфний відкритій множині простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, то X називається локально евклідовим простором, або топологічним многовидом розмірності n. Пара ${\displaystyle (U,\phi )\,}$, де ${\displaystyle \phi \,}$ — вказаний гомеоморфізм, називається локальною картою X в точці х. Таким чином, кожній точці відповідає набір n дійсних чисел ${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}$, що називаються координатами в карті ${\displaystyle (U,\phi )}$. Множина карт ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}$ називається n-вимірним ${\displaystyle C^{k}}$-атласом ${\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty ,a)}$ многовиду X, якщо:

• сукупність всіх ${\displaystyle U_{\alpha }}$ покриває X, ${\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}$
• для будь-яких ${\displaystyle \alpha ,\beta \in A}$ таких, що ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }$, відображення:

${\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$

є диференційовним класу ${\displaystyle C^{k}}$; ${\displaystyle \phi \,}$ є відображенням, з відмінним від нуля якобіаном і називається перетворенням координат точки х з карти ${\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })\,}$ в карту ${\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta })\,.}$

Два ${\displaystyle C^{k}}$-атласи називаються еквівалентними, якщо їх об'єднання знову є ${\displaystyle C^{k}}$-атласом. Сукупність ${\displaystyle C^{k}}$-атласів розбивається на класи еквівалентності, які називаються ${\displaystyle C^{k}}$-структурами, при ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }$ — диференціальними (або гладкими) структурами, при k = a — аналітичними структурами. Топологічний многовид X, наділений ${\displaystyle C^{k}}$-структурою називається ${\displaystyle C^{k}}$-многовидом, або диференційовним многовидом класу ${\displaystyle C^{k}}$.

Комплексні многовиди

Задачі аналітичної і алгебраїчної геометрії приводять до необхідності розгляду у визначенні диференціальної структури замість простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ загальніших просторів ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ або навіть ${\displaystyle K^{n}\,}$, де K — повне недискретне нормоване поле. Так, у випадку ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ відповідна ${\displaystyle C^{k}}$-структура, ${\displaystyle k\geqslant 1}$, неодмінно виявляється аналітичною структурою, вона називається комплексно аналітичною, або просто комплексною, а відповідний диференційовний многовид — комплексним многовидом. При цьому на будь-якому такому многовиді є і природна дійсна аналітична структура.

Сумісні структури

На будь-якому аналітичному многовиді існує узгоджена з нею ${\displaystyle C^{\infty }}$-структура, і на ${\displaystyle C^{k}}$-многовиді, ${\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }$, — ${\displaystyle C^{r}}$-структура, якщо ${\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}$. Навпаки, будь-який паракомпактний ${\displaystyle C^{r}}$-многовид, ${\displaystyle r\geqslant 1}$, можна наділити аналітичною структурою, сумісною із заданою, причому ця структура (з точністю до ізоморфізму) єдина. Може, проте, трапитися, що ${\displaystyle C^{0}}$-многовид не можна наділити ${\displaystyle C^{1}}$-структурою, а якщо це вдається то така структура може бути не єдиною. Наприклад число θ(n) ${\displaystyle C^{1}}$-неізоморфних ${\displaystyle C^{\infty }}$-структур на n-вимірній сфері рівно:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
θ(n)	1	1	1		1	1	28	2	8	6	992	1

Відображення

Нехай ${\displaystyle f:X\to Y}$ — неперервне відображення ${\displaystyle C^{r}}$-многовидів X, Y; воно називається ${\displaystyle C^{k}}$-морфізмом (або ${\displaystyle C^{k}}$-відображенням, ${\displaystyle k\leqslant r}$, або відображенням класу ${\displaystyle C^{k}}$) диференційовних многовидів, якщо для будь-якої пари карт ${\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })\,}$ на X і ${\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })\,}$ на Y такої, що ${\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}$ і відображення:

${\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}$

належить класу ${\displaystyle C^{k}}$. Бієктивне відображення f таке, що воно і f^-1 є ${\displaystyle C^{k}}$-відображеннями, називається ${\displaystyle C^{k}}$-ізоморфізмом (або дифеоморфізмом). В цьому випадку X і Y і їх ${\displaystyle C^{r}}$-структури називаються ${\displaystyle C^{k}}$-ізоморфними.

Підмноговиди і вкладення

Підпростір Y n-вимірного ${\displaystyle C^{k}}$-многовиду X називається ${\displaystyle C^{k}}$- підмноговидом розмірності m у X, якщо для довільної точки ${\displaystyle y\in Y}$ існують її окіл ${\displaystyle V\subset Y}$ і карта ${\displaystyle (U,\phi )\,}$ ${\displaystyle C^{k}}$-структури X такі, що ${\displaystyle V\subset Y}$ і ${\displaystyle \phi }$ індукує гомеоморфізм V на перетин ${\displaystyle \phi (U\cap Y)}$ з (замкнутим) підпростором ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}$; іншими словами, існує карта з координатами ${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}$ така, що ${\displaystyle (U\cap Y)}$ визначається співвідношеннями ${\displaystyle x^{m+1}=,\ldots ,=x^{n}=0}$.

Відображення ${\displaystyle f:X\to Y}$ називається ${\displaystyle C^{k}}$-вкладенням якщо f(X) є ${\displaystyle C^{k}}$-підмноговидом в Y, а ${\displaystyle X\to f(X)}$ — ${\displaystyle C^{k}}$-дифеоморфізм. Будь-який n-вимірний ${\displaystyle C^{k}}$-многовид допускає вкладення в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}$ і навіть в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}$ Більш того, множина таких вкладень є всюди щільною у просторі відображень ${\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}$ щодо компактно-відкритої топології. Тим самим, розгляд диференційовних многовидів, як підмноговидів евклідового простору дає один із способів вивчення їх теорії, цим шляхом встановлюються, наприклад, вказані вище теореми про аналітичні структури.

Див. також

• Многовид
• Атлас (математика)
• Дифеоморфізм
• Грассманіан
• Інваріантний многовид

Посилання

• О.Пришляк Диференціальна геометрія : Курс лекцій. [Архівовано 14 квітня 2010 у Wayback Machine.] – К.: Видавничо-поліграфічний центр Київський університет, 2004. – 68 с.

Література

• Понтрягин Л. С, Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976;
• Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975;
• де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956;
• Ленг С, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967;
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б.. Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977;
• Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960;
• Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971;
• Нарасимхан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ.. М., 1971;
• Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976;