Діедр

Діедр — вид многогранника, що складається з двох многокутних граней, які мають спільний набір ребер. У тривимірному евклідовому просторі він вироджений, якщо його грані плоскі, тоді як у тривимірному сферичному просторі^[en] діедр із плоскими гранями можна розглядати як лінзу, прикладом якої є фундаментальна область лінзового простору L(p,q)^[1].

Множина правильних n-кутних діедрів
Приклад шестикутного діедра на сфері
Тип	правильний многогранник, сферична мозаїка
Граней	2 n-кутники
Ребер	n
Вершин	n
Конфігурація вершин	n.n
Символ Витофа	2 | n 2
Символ Шлефлі	{n,2}
Діаграма Коксетера
Група симетрії	Dnh, [2,n], (*22n), порядок 4n Dn, [2,n]+, (22n), порядок 2n
Дуальний многогранник	осоедр

Зазвичай мають на увазі, що правильний діедр складається з двох правильних многокутників, і це дає йому символ Шлефлі {n,2}. Кожен многокутник заповнює півсферу з правильним n-кутником на великому колі (екваторі) між ними^[2].

Двоїстим многогранником n-кутного діедра є n-кутний осоедр, у якому n двокутних граней мають дві спільні вершини.

Як многогранник

Діедр можна вважати виродженою призмою, що складається з двох (плоских) n-сторонніх многокутників, з'єднаних внутрішніми сторонами, тому отриманий об'єкт має нульову висоту.

Як мозаїка на сфері

Докладніше: Сферичний многогранник

Як сферична мозаїка діедр може існувати в невиродженому вигляді з n-сторонніми гранями, що покривають сферу. Кожна грань цього діедра є півсферою з вершинами на великому колі. (Грань правильна, якщо вершини розташовані на рівній відстані одна від одної.)

Правильний многогранник {2,2} самодвоїстий і є одночасно осоедром та діедром.

Правильні діедри: (мозаїки сфери)

Малюнок
Шлефлі	{2,2}	{3,2}	{4,2}	{5,2}	{6,2}…
Коксетер
Грані	2 {2}	2 {3}	2 {4}	2 {5}	2 {6}
Ребра та вершини	2	3	4	5	6

Нескінченнокутний діедр

У границі діедр стає нескінченнокутним діедром^[en] у вигляді 2-вимірної мозаїки:

Дитоп

Правильний дитоп — це n-вимірний аналог діедра із символом Шлефлі {p, …q, r,2}. Дитоп має дві (n-1)-вимірні грані {p, … q, r}, які мають спільну (n-2)-вимірну грань.

Див. також

• Многогранник

Однорідні шестикутні діедричні сферичні многогранники

Симетрія: [6,2], (*622)							[6,2]+, (622)	[6,2+], (2*3)
{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{2,6}	tr{6,2}[en]	sr{6,2}	s{2,6}
Двоїсті їм многогранники
V62	V122	V62	V4.4.6[en]	V26	V4.4.6[en]	V4.4.12	V3.3.3.6[en]	V3.3.3.3

Примітки

1. Gausmann и др., 2001, с. 5155–5186.
2. Coxeter, 1973, с. 12.

Література

• Evelise Gausmann, Roland Lehoucq, Jean-Pierre Luminet, Jean-Philippe Uzan, Jeffrey Weeks. Topological Lensing in Spherical Spaces // Classical and Quantum Gravity. — 2001. — Т. 18. — arXiv:gr-qc/0106033. — DOI:10.1088/0264-9381/18/23/311.
• Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — 1st. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81496-0.
• H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd. — New York : Dover Publications Inc, 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
• Weisstein, Eric W. Діедр(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.