Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Ді́я групи на множині — це відображення
що має властивості:
для всіх де — це нейтральний елемент
З аксіом групи випливає, що для кожного відображення множини до себе за формулою є бієкцією або автоморфізмом
називається орбітою елемента .
Дія групи на множині визначає на ній відношення еквівалентності
Підмножина
є підгрупою групи і називається стабілізатором елемента .
Стабілізатори елементів однієї орбіт спряжені, тобто якщо , то існує такий елемент , що
Загальна кількість елементів в орбіті елемента визначається за формулою:
Справді нехай елемент n належить до орбіти елемента m, припустимо n = gm для деякого Визначимо тепер відображення f(n)=nH, де H=Gm - стабілізатор елемента m. Дане означення відображеняя з множини елементів орбіти m на множину лівих класів суміжності по H ' є несуперечливим, адже якщо y=g1x=g2x то і як наслідок g1H=g2H. Зважаючи на довільність вибору g, одержуємо, що відображення є сюр'єктивним. З іншого боку якщо g1H=g2H тоді і згідно з означенням стабілізатора звідки випливає g1x=g2x. Тобто відображення є ін'єктивним і значить бієктивним. Тобто потужність орбіти рівна потужності лівих класів суміжності по H, тобто за означенням рівна індексу підгрупи H, що доводить твердження
Якщо , то
Звідси випливають наступні тотожності:
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.