Власна функція

Вла́сною фу́нкцією лінійного оператора ${\displaystyle L}$ із власним значенням ${\displaystyle \lambda }$ називається така ненульова функція ${\displaystyle f}$, для якої виконується співвідношення

${\displaystyle L(f)=\lambda f,}$

де ${\displaystyle \lambda }$ це певне число (дійсне або комплексне). Таким чином, дія оператора ${\displaystyle L}$ на його власну функцію ${\displaystyle f}$ зводиться до множення ${\displaystyle f}$ на число ${\displaystyle \lambda .}$ Поняття власної функції — це зразок загального поняття власного вектора лінійного оператора, коли роль векторів відіграють функції. Зокрема, воно широко застосовується у теорії диференціальних і інтегральних операторів. Якщо ${\displaystyle L}$ — це оператор Шредінгера з квантової механіки, то його власні функції мають зміст векторів стаціонарного стану, а власні значення відповідають енергії (див. Стаціонарне рівняння Шредінгера). Переважна більшість спеціальних функцій і всі ортогональні поліноми, які розглядаються у математиці і фізиці, є власними функціями певних диференціальних операторів.

Якщо для оператора існує більш за одну лінійно незалежну власну функцію із однаковим власним значенням ${\displaystyle \lambda }$, то таке власне значення називається виродженим . Множина всіх власних значень оператора ${\displaystyle L}$ належить до спектра ${\displaystyle L}$, але взагалі спектр оператора містить також ${\displaystyle \lambda ,}$ що не є власними числами.

Приклади

1. Розглянемо зміну напрямку ${\displaystyle x\mapsto -x}$ на числовій осі ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Це — відображення ${\displaystyle \mathbb {R} }$ до себе, що приводить до лінійного оператора ${\displaystyle S,}$ що діє на функціях на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ за формулою

${\displaystyle Sf(x)=f(-x).}$

Власними функціями ${\displaystyle S}$ є всі парні функції, що відповідають власному значенню 1, і всі непарні функції, що відповідають власному значенню -1, за винятком функції ${\displaystyle 0.}$ Функції, які не є ні парними, ні непарними, не належать до власних функцій даного оператора. Спектр даного оператора збігається із множиною власних значень і складається із двох чисел: 1 та -1. Обидва власні значення вироджені, оскільки існує безліч парних чи непарних функцій.

2. Для оператора похідної ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ у просторі всіх диференційовних дійснозначних функцій однієї змінної ${\displaystyle x}$, експоненціальна функція ${\displaystyle e^{kx},k\in \mathbb {R} }$ є власною функцією із власним значенням ${\displaystyle k.}$ У теорії диференціальних рівнянь доводиться, що будь-яка фунція ${\displaystyle f(x),}$ що задовольняє

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=kf,}$

має вигляд ${\displaystyle f(x)=Ce^{kx},}$ тобто пропорційна ${\displaystyle e^{kx}.}$ Тому жодне із власних значень не є виродженим. Якщо поширити простір, на якому діє ${\displaystyle {\frac {d}{dx}},}$ до простору всіх диференційовних комплекснозначних функцій, то будь-яка власна функція ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ пропорційна комплексній експоненціальній функції ${\displaystyle e^{kx},k\in \mathbb {C} .}$

3. Поліноми Лежандра

${\displaystyle P_{l}(z)={\frac {(-1)^{l}}{2^{l}l!}}{\frac {d^{l}}{dz^{l}}}(1-z^{2})^{l}}$

є власними функціями диференціального оператора

${\displaystyle L=(1-z^{2}){\frac {d^{2}}{dz^{2}}}-2z{\frac {d}{dz}}}$

з власними значеннями ${\displaystyle \lambda =-l(l+1).}$ Ці функції — скінченні у точках ${\displaystyle z=\pm 1,}$ і будь-яка власна функція ${\displaystyle L}$ скінченна у ${\displaystyle z=\pm 1}$ пропорційна до певного ${\displaystyle P_{l}(z),l=0,1,2,\ldots .}$

Див. також

• Власний вектор
• Стаціонарне рівняння Шредінгера