Арбелос

Арбелос (грец. Άρβυλος — шевський ніж) — геометрична фігура, яка є областю на площині, котра обмежена трьома півколами, що знаходяться по одну сторону від деякої прямої, яка містить їх діаметри^[1], та з'єднані по кутах, що розташовуються на цій прямій.

Арбелос (сіра область)

Найдавніше відоме посилання на цю фігуру знаходиться в книзі Лем Архімеда, де окремі з його математичних властивостей згадані в Припущеннях з 4 по 8.^[2]

Етимологія

Типовий ніж шевця, якому арбелос зобов'язаний своїм ім'ям

Назва «арбелос», використана Архімедом, походить з грецького «ἡἄρβηλο» або «ἄρβυλο», що має значення «шевський ніж» — ніж, який використовується шевцями з античних часів по наші дні, форма леза якого нагадує цю геометричну фігуру.

Властивості

Два півкола обов'язково є вігнутими, з довільними діаметрів А і В; третє півколо опукле, з діаметром A + B.^[1]

Деякі спеціальні точки арбелосу

У наступних розділах кути арбелосу помічені ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, таким чином, що діаметр зовнішнього півкола ${\displaystyle BC}$ має одиничну довжину; а діаметри внутрішніх напівкіл ${\displaystyle AB}$ і ${\displaystyle AC}$ мають довжину r і 1-r, відповідно. Буква ${\displaystyle H}$ позначає точку, де зовнішнє півколо перетинає лінію, яка перпендикулярна до діаметра через точку ${\displaystyle A}$.

Площа

Площа арбелосу еквівалентна площі кола з діаметром ${\displaystyle HA}$.

Доведення

Якщо BC = 1 та BA = r, тоді

• З трикутника BHA: ${\displaystyle r^{2}+h^{2}=x^{2}}$
• З трикутника CHA: ${\displaystyle (1-r)^{2}+h^{2}=y^{2}}$
• З трикутника BHC: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

За допомогою підстановки ${\displaystyle y^{2}=(1-r)^{2}+x^{2}-r^{2}}$. Розкриваючи дужки: ${\displaystyle y^{2}=1-2r+x^{2}}$. Підстановкою ${\displaystyle y^{2}}$ в рівняння трикутника BHC знаходимо ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle x={\sqrt {r}}}$

Підставляючи це, знаходимо рішення для ${\displaystyle y}$ та ${\displaystyle h}$

${\displaystyle y={\sqrt {1-r}}}$

${\displaystyle h={\sqrt {r-r^{2}}}}$

Радіус кола з центром O :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {r-r^{2}}}.}$

Тоді, площа :

${\displaystyle S_{circle}=\pi \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {r-r^{2}}}\right)^{2}}$

${\displaystyle S_{circle}={\frac {\pi r}{4}}-{\frac {\pi r^{2}}{4}}}$

Площа арбелосу дорівнює різниці площ великого півкола та двох невеликих напівкіл. Тому площа арбелосу :

${\displaystyle S={\frac {\pi }{8}}-\left({\frac {\pi }{2}}\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}+{\frac {\pi }{2}}\left({\frac {1-r}{2}}\right)^{2}\right)}$

${\displaystyle S_{arbelos}={\frac {\pi -\pi r^{2}-\pi +2\pi r-\pi r^{2}}{8}}}$

${\displaystyle S_{arbelos}={\frac {\pi r}{4}}-{\frac {\pi r^{2}}{4}}=A_{circle}}$

Q.E.D.^[3]

Прямокутник

Скульптура арбелосу в Kaatsheuvel^[en], Нідерланди

Хай ${\displaystyle D}$ та ${\displaystyle E}$ будуть точками, де відрізки ${\displaystyle BH}$ та ${\displaystyle CH}$ перетинають півкола ${\displaystyle AB}$ та ${\displaystyle AC}$, відповіно. Чотирикутник ${\displaystyle ADHE}$ є насправді прямокутником.

Доказ: Кути ${\displaystyle BDA}$, ${\displaystyle BHC}$, та ${\displaystyle AEC}$ є прямими, бо вони вписані до півкола (за теоремою Фалеса). Чотирикутник ${\displaystyle ADHE}$ тоді має три прямих кути, тож він є прямокутником.

Дотичні

Лінія ${\displaystyle DE}$ є дотичною до півкола ${\displaystyle BA}$ в точці ${\displaystyle D}$ та півкола ${\displaystyle AC}$ в ${\displaystyle E}$.

Доказ: Оскільки кут BDA є прямим, кут DBA дорівнює π/2 мінус кут DAB. Однак, кут DAH також дорівнює π/2 мінус кут DAB (оскільки кут HAB є прямим). Тоді трикутники DBA та DAH подібні. Тоді кут DIA подібний до кута DOH, де I є серединою BA та O є серединою AH. Але AOH є прямою, тож кути DOH та DOA є додатковими кутами. Тоді сума кутів DIA та DOA дорівнює π. Кут IAO прямий. Сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 2π, тож у чотирикутнику IDOA, кут IDO повинен бути прямим. Але ADHE являє собою чотирикутник, тож середина AH (діагональ чотирикутника) крапка О також є серединою DE (іншої діагоналі). Тоді I (середина BA) є центром півкола BA, так кут IDE є прямим, тоді DE є дотичною до півкола BA в точці D. Аналогічно доводимо, що DE є дотичною до півкола AC в точці E.

Кола Архімеда

Висота ${\displaystyle AH}$ ділить арбелос на дві області, кожна з яких обмежена півколом, сегментом прямий і дугою зовнішнього півкола. Кола, вписані в кожну з цих областей, відомі як кола Архімеда цього арбелосу та мають однаковий розмір.

Теорема Паппа Александрійського

Теорема Паппа: ${\displaystyle h_{1}=d_{1}}$, ${\displaystyle h_{2}=2d_{2}}$,…, ${\displaystyle h_{n}=nd_{n}}$.

Маємо арбелос ABC (крапка A лежить між крапками B та C) та кола ${\displaystyle \omega _{1}}$, ${\displaystyle \omega _{2}}$,…,${\displaystyle \omega _{n}}$ (${\displaystyle n\in N}$), за умов, що коло ${\displaystyle \omega _{1}}$ дотикається до дуг AB, BC та AC, та коли ${\displaystyle n\geqslant 2}$ коло ${\displaystyle \omega _{n}}$ дотикається до дуг AB та BC та кола ${\displaystyle \omega _{n-1}}$. Тоді для кожного натурального ${\displaystyle n}$ відстань до центра кола ${\displaystyle \omega _{n}}$ до прямої BC дорівнює добутку діаметра цього кола та її номера ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle h_{n}=nd_{n}}$.

Див. також

• Ідеальний трикутник
• Томагавк (геометрія)

Примітки

1. Weisstein, Eric W. Arbelos(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
2. Thomas Little Heath (1897), The Works of Archimedes. Cambridge University Press. Proposition 4 in the Book of Lemmas. Quote: If AB be the diameter of a semicircle and N any point on AB, and if semicircles be described within the first semicircle and having AN, BN as diameters respectively, the figure included between the circumferences of the three semicircles is «what Archimedes called arbelos»; and its area is equal to the circle on PN as diameter, where PN is perpendicular to AB and meets the original semicircle in P. («Arbelos — the Shoemaker's Knife»)
3. Behnaz Rouhani. The Arbelos. Архів оригіналу за 19 лютого 2016. Процитовано 13 червня 2008.

Бібліографія

• Джонсон Р. А. (1960). Розширена евклідова геометрія: Елементарний трактат з геометрії трикутника і кола (вид. перевиданий у 1929 в редагуванні Хоутона Міфліна). Нью Йорк: Dover Publications.
• Огілві, Ц. С. (1990). Екскурсіі по геометрії. Dover Publications.
• Сондоу, Дж. (2012). Параболос, параболичний аналог арбелосу.
• Уельс, Д. (1991). Словник пінгвіна з кумедної та цікавої геометрії. Нью Йорк: Penguin Books.