Алгебра Мальцева

В абстрактній алгебрі, алгебра Мальцева (чи алгебра Муфанг — Лі) над полем — неасоціативна алгебра що є антисиметричною, тобто

${\displaystyle xy=-yx\ }$

і задовольняє властивість Мальцева

${\displaystyle (xy)(xz)=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)x)y\ }$.

Алгебри Мальцева вперше були введені Анатолієм Мальцевим у 1955 році.

Варіанти визначення

• Рівність ${\displaystyle xy=-yx\ }$ для всіх елементів x, y еквівалентна ${\displaystyle x^{2}=0\,}$ для всіх x.
• Якщо визначити ${\displaystyle \ J(x,y,z)=(x\cdot y)\cdot z+(y\cdot z)\cdot x+(z\cdot x)\cdot y,}$ то властивість Мальцева можна переписати ${\displaystyle \ J(x,y,x\cdot z)=J(x,y,z)\cdot x}$

Приклади

• Будь-яка алгебра Лі є алгеброю Мальцева.
• Будь-яка альтернативна алгебра визначає алгебру Мальцева за допомогою добутку Мальцева xy − yx.
• Уявні октоніони з добутком xy − yx утворюють алгебру Мальцева розмірності 7.

Джерела

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том ./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1984