Ізотропний вектор

Ізотропний вектор (нуль-вектор) — ненульовий вектор псевдоевклідового векторного простору (над полем дійсних чисел) або унітарного векторного простору (над полем комплексних чисел), ортогональний самому собі, або, що еквівалентно, який має нульову довжину в сенсі скалярного добутку розглянутого простору. Найменування ізотропний пов'язане з фізичним поняттям ізотропії.

У евклідових просторах таких векторів немає — нульову довжину мають лише вектори, рівні нулю. У псевдоевклідових просторах ізотропні вектори існують і утворюють ізотропний конус. А саме, вектор ${\displaystyle \xi \neq 0}$ векторного простору ${\displaystyle E}$ над полем ${\displaystyle F}$ дійсних чи комплексних чисел із заданою як скалярний добуток невиродженою білінійною формою ${\displaystyle \Phi :E\times E\to F}$ із сигнатурою ${\displaystyle (p,q)}$ ізотропний, якщо ${\displaystyle \Phi (\xi ,\xi )=0}$.

Пов'язані поняття

Ізотропний конус у просторі ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}^{3}}$

• Ізотропним конусом псевдоевклідового або унітарного векторного простору називають множину, що складається з усіх векторів нульової довжини цього простору, тобто всіх ізотропних векторів і нульового вектора.

• Ізотропний підпростір — підпростір псевдоевклідового або унітарного векторного простору, що повністю міститься в ізотропному конусі цього простору, тобто складається з векторів нульової довжини. Підпростір є ізотропним тоді й лише тоді, коли будь-які два його вектори ортогональні один одному^[1]. Максимальна розмірність ізотропного підпростору псевдоевклідового простору сингатури ${\displaystyle (p,q)}$ не перевершує ${\displaystyle \min(p,q)}$^[2].

• Вироджений підпростір — підпростір псевдоевклідового або унітарного векторного простору, обмеження скалярного добутку на який вироджене. Підпростір є виродженим тоді й лише тоді, коли він містить хоча б один ізотропний вектор, ортогональний решті векторів цього підпростору^[1]. Очевидно, будь-який ізотропний підпростір є виродженим, але не навпаки.

Приклади

Взаємне розташування площини ${\displaystyle \Pi }$ та ізотропного конуса у просторі ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}^{3}}$. Зліва направо: площина ${\displaystyle \Pi }$ псевдоевклідова, вироджена, евклідова.

• Найпростіший приклад — ізотропні вектори та ізотропний конус у ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}^{3}}$ — псевдоевклідовому просторі сигнатури (2,1). Квадрат довжини вектора ${\displaystyle e=(x,y,z)}$ задається формулою ${\displaystyle |e|^{2}=\langle e,e\rangle =x^{2}+y^{2}-z^{2}}$. Ізотропний конус — прямий круговий конус ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}$. Ізотропні підпростори — прямі (твірні), що лежать на ньому, вироджені підпростори (відмінні від ізотропних) — площини, які дотикаються до ізотропного конуса, тобто мають із ним рівно одну спільну пряму. Решта площин є або евклідовими (якщо перетинаються з ізотропним конусом лише в його вершині), або псевдоевклідовими сигнатури (1,1) (якщо перетинаються з ним по двох різних прямих)^[3].

• Важливим прикладом є ізотропні вектори та ізотропний конус у просторі Мінковського ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}^{4}}$ — псевдоевклідовому просторі сигнатури (1,3), що використовується як геометрична інтерпретація простору-часу в спеціальній теорії відносності. У цьому просторі кожен вектор має чотири координати: ${\displaystyle e=(ct,x,y,z)}$, де ${\displaystyle c}$ ― швидкість світла, і квадрат його довжини задається формулою ${\displaystyle |e|^{2}=\langle e,e\rangle =(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$. Ізотропний конус простору Мінковського називають світловим конусом, а ізотропні вектори — світловими або світлоподібними. Вектори, що лежать усередині світлового конуса (${\displaystyle |e|^{2}>0}$), називають часоподібними, а вектори, що лежать поза світловим конусом (${\displaystyle |e|^{2}<0}$), називають простороподібними.

Примітки

1. Ремизов А. О. Об изоморфизмах псевдоевклидовых пространств, Матем. образование, 2018, № 2(86), 15–39 (стр. 17).
2. Ремизов А. О. Об изоморфизмах псевдоевклидовых пространств, Матем. образование, 2018, № 2(86), 15–39 (стр. 27, Лемма 2).
3. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009 (гл. 7, пар. 7)

Література

• Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия: методы и приложения. — 4-е издание. — М. : Эдиториал УРСС, 1998. — Т. 1. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. — С. 49—52. — ISBN 5-901006-02-X.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009 (гл. 7, пар. 7).
• Ремизов А. О. Об изоморфизмах псевдоевклидовых пространств, Матем. образование, 2018, № 2(86), 15–39.