Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
У теорії ймовірностей та статистиці t-розподіл чи t-розподіл Стьюдента — різновид розподілу ймовірностей, який виникає в задачі оцінення сподіваного значення нормально розподіленої популяції, коли розмір вибірки малий. Цей розподіл є основою популярного t-тесту Стьюдента статистичної значущості різниці математичних сподівань двох вибірок, та довірчого інтервалу різниці очікуваних значень двох вибірок. t-розподіл Стьюдента є також частковим випадком узагальненого гіперболічного розподілу[en]. Розроблений В. С. Госсетом (псевдонім «Стьюдент»).
t-Стьюдента | |
---|---|
Щільність розподілу | |
Функція розподілу ймовірностей | |
Параметри | ступені свободи (дійсне) |
Носій функції | |
Розподіл імовірностей | |
Функція розподілу ймовірностей (cdf) | де 2F1 це гіпергеометрична функція |
Середнє | для , інакше невизначено |
Медіана | |
Мода | |
Дисперсія | для , інакше невизначена |
Коефіцієнт асиметрії | для |
Коефіцієнт ексцесу | для |
Ентропія | |
Твірна функція моментів (mgf) | (не визначена) |
Характеристична функція | див.[1] |
Нехай X1, …, Xn — це незалежні випадкові величини з розподілу N(μ, σ2), тобто це вибірка розміру n з популяції з нормальним розподілом з середнім значенням μ і дисперсією σ2.
Нехай
буде середнім вибірки і нехай
буде (виправлена згідно з Бесселем) дисперсія вибірки. Тоді випадкова величина
має стандартний нормальний розподіл (тобто, з середнім 0 і дисперсією 1), а випадкова величина
(де ми підставили S замість σ) має t-розподіл Стьюдента з n − 1 ступенями вільності. Через те що ми замінили на єдина неспостережувана величина тут це отже ми можемо використати це, щоб знайти довірчі інтервали для Зауважте, що незважаючи на те, що вони базуються на тій самій вибірці чисельник і знаменник у попередньому виразі — незалежні випадкові величини. Це можна побачити спостерігши, що і згадавши, що і це дві лінійні комбінації тої самої множини н.о.р. нормально розподілених випадкових величин.
Т-розподіл Стьюдента має функцію щільності розподілу, що задається формулою
де — кількість ступенів вільності, — гамма-функція. Формула також може бути записана у вигляді
де B — бета-функція.
Для парних значень
Для непарних значень
Функція розподілу може бути записана в термінах I, регуляризованої неповна бета-функція. Для t > 0[2]
з
Інші значення отримуються симетрично. Альтернативна формула дійсна для t2 < ν, така[2]
де 2F1 — певний випадок гіпергеометричної функції.
Для певних значень параметра розподіл Стьюдента має просту форму.
Загалом щільність t-розподілу схожа на дзвоноподібну функцію щільності нормального розподілу, з тією відмінністю, що у t-розподілу вона трохи нижча і ширша. За кількості ступенів свободи, що прямує до нескінченості, t-розподіл прямує до нормального розподілу з математичним сподіванням 0 і дисперсією 1.
На графіках нижче показано щільності t-розподілу для зростаючих значень параметру . Для порівняння, нормальний розподіл зображено синім. Можна помітити, що із збільшенням щільність t-розподілу наближається до нормального.
Наступна таблиця містить кілька вибраних значень цього розподілу, з r ступенями свободи для інтервалів певності 90 %, 95 %, 97,5 % та 99,5 %. Ці числа «односторонні», тобто коли ми бачимо «90%», «4 ступенів свободи», та «1.533»,
Тому, по симетрії розподілу, ми маємо
та в результаті
r | 75 % | 80 % | 85 % | 90 % | 95 % | 97.5 % | 99 % | 99.5 % | 99.75 % | 99.9 % | 99.95 % |
1 | 1.000 | 1.376 | 1.963 | 3.078 | 6.314 | 12.71 | 31.82 | 63.66 | 127.3 | 318.3 | 636.6 |
2 | 0.816 | 1.061 | 1.386 | 1.886 | 2.920 | 4.303 | 6.965 | 9.925 | 14.09 | 22.33 | 31.60 |
3 | 0.765 | 0.978 | 1.250 | 1.638 | 2.353 | 3.182 | 4.541 | 5.841 | 7.453 | 10.21 | 12.92 |
4 | 0.741 | 0.941 | 1.190 | 1.533 | 2.132 | 2.776 | 3.747 | 4.604 | 5.598 | 7.173 | 8.610 |
5 | 0.727 | 0.920 | 1.156 | 1.476 | 2.015 | 2.571 | 3.365 | 4.032 | 4.773 | 5.893 | 6.869 |
6 | 0.718 | 0.906 | 1.134 | 1.440 | 1.943 | 2.447 | 3.143 | 3.707 | 4.317 | 5.208 | 5.959 |
7 | 0.711 | 0.896 | 1.119 | 1.415 | 1.895 | 2.365 | 2.998 | 3.499 | 4.029 | 4.785 | 5.408 |
8 | 0.706 | 0.889 | 1.108 | 1.397 | 1.860 | 2.306 | 2.896 | 3.355 | 3.833 | 4.501 | 5.041 |
9 | 0.703 | 0.883 | 1.100 | 1.383 | 1.833 | 2.262 | 2.821 | 3.250 | 3.690 | 4.297 | 4.781 |
10 | 0.700 | 0.879 | 1.093 | 1.372 | 1.812 | 2.228 | 2.764 | 3.169 | 3.581 | 4.144 | 4.587 |
11 | 0.697 | 0.876 | 1.088 | 1.363 | 1.796 | 2.201 | 2.718 | 3.106 | 3.497 | 4.025 | 4.437 |
12 | 0.695 | 0.873 | 1.083 | 1.356 | 1.782 | 2.179 | 2.681 | 3.055 | 3.428 | 3.930 | 4.318 |
13 | 0.694 | 0.870 | 1.079 | 1.350 | 1.771 | 2.160 | 2.650 | 3.012 | 3.372 | 3.852 | 4.221 |
14 | 0.692 | 0.868 | 1.076 | 1.345 | 1.761 | 2.145 | 2.624 | 2.977 | 3.326 | 3.787 | 4.140 |
15 | 0.691 | 0.866 | 1.074 | 1.341 | 1.753 | 2.131 | 2.602 | 2.947 | 3.286 | 3.733 | 4.073 |
16 | 0.690 | 0.865 | 1.071 | 1.337 | 1.746 | 2.120 | 2.583 | 2.921 | 3.252 | 3.686 | 4.015 |
17 | 0.689 | 0.863 | 1.069 | 1.333 | 1.740 | 2.110 | 2.567 | 2.898 | 3.222 | 3.646 | 3.965 |
18 | 0.688 | 0.862 | 1.067 | 1.330 | 1.734 | 2.101 | 2.552 | 2.878 | 3.197 | 3.610 | 3.922 |
19 | 0.688 | 0.861 | 1.066 | 1.328 | 1.729 | 2.093 | 2.539 | 2.861 | 3.174 | 3.579 | 3.883 |
20 | 0.687 | 0.860 | 1.064 | 1.325 | 1.725 | 2.086 | 2.528 | 2.845 | 3.153 | 3.552 | 3.850 |
21 | 0.686 | 0.859 | 1.063 | 1.323 | 1.721 | 2.080 | 2.518 | 2.831 | 3.135 | 3.527 | 3.819 |
22 | 0.686 | 0.858 | 1.061 | 1.321 | 1.717 | 2.074 | 2.508 | 2.819 | 3.119 | 3.505 | 3.792 |
23 | 0.685 | 0.858 | 1.060 | 1.319 | 1.714 | 2.069 | 2.500 | 2.807 | 3.104 | 3.485 | 3.767 |
24 | 0.685 | 0.857 | 1.059 | 1.318 | 1.711 | 2.064 | 2.492 | 2.797 | 3.091 | 3.467 | 3.745 |
25 | 0.684 | 0.856 | 1.058 | 1.316 | 1.708 | 2.060 | 2.485 | 2.787 | 3.078 | 3.450 | 3.725 |
26 | 0.684 | 0.856 | 1.058 | 1.315 | 1.706 | 2.056 | 2.479 | 2.779 | 3.067 | 3.435 | 3.707 |
27 | 0.684 | 0.855 | 1.057 | 1.314 | 1.703 | 2.052 | 2.473 | 2.771 | 3.057 | 3.421 | 3.690 |
28 | 0.683 | 0.855 | 1.056 | 1.313 | 1.701 | 2.048 | 2.467 | 2.763 | 3.047 | 3.408 | 3.674 |
29 | 0.683 | 0.854 | 1.055 | 1.311 | 1.699 | 2.045 | 2.462 | 2.756 | 3.038 | 3.396 | 3.659 |
30 | 0.683 | 0.854 | 1.055 | 1.310 | 1.697 | 2.042 | 2.457 | 2.750 | 3.030 | 3.385 | 3.646 |
40 | 0.681 | 0.851 | 1.050 | 1.303 | 1.684 | 2.021 | 2.423 | 2.704 | 2.971 | 3.307 | 3.551 |
50 | 0.679 | 0.849 | 1.047 | 1.299 | 1.676 | 2.009 | 2.403 | 2.678 | 2.937 | 3.261 | 3.496 |
60 | 0.679 | 0.848 | 1.045 | 1.296 | 1.671 | 2.000 | 2.390 | 2.660 | 2.915 | 3.232 | 3.460 |
80 | 0.678 | 0.846 | 1.043 | 1.292 | 1.664 | 1.990 | 2.374 | 2.639 | 2.887 | 3.195 | 3.416 |
100 | 0.677 | 0.845 | 1.042 | 1.290 | 1.660 | 1.984 | 2.364 | 2.626 | 2.871 | 3.174 | 3.390 |
120 | 0.677 | 0.845 | 1.041 | 1.289 | 1.658 | 1.980 | 2.358 | 2.617 | 2.860 | 3.160 | 3.373 |
0.674 | 0.842 | 1.036 | 1.282 | 1.645 | 1.960 | 2.326 | 2.576 | 2.807 | 3.090 | 3.291 |
Наприклад, якщо ми маємо вибірку з варіацією 2 та середнім значенням 10, вибраним з набору 11 елементів (10 ступенів свободи), використовуючи формулу:
Ми можемо визначити що з 90-відсотковою впевненістю ми маємо дійсне середнє значення, яке лежить в інтервалі:
Та, знову з 90 % впевненістю, ми маємо дійсне середнє значення, яке лежить поза інтервалом:
Так, з 80 % впевненістю, ми маємо дійсне середнє значення, яке лежить поміж:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.