Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Функція Гевісайда, H, — це розривна функція дійсної змінної значення якої рівне 0 для від'ємних значень аргумента і рівне 1 для додатних значень аргумента. В більшості випадків значення функції в точці нуль H(0) не є важливим. Функція названа на честь англійського математика Олівера Гевісайда і широко використовується в теорії керування і обробці сигналів. В теорії ймовірності функція Гевісайда з 'H(0)=1 є функцією розподілу випадкової змінної, що майже напевно рівна нулю.
Функція Гевісайда є первісною дельта-функції Дірака і можна записати:
В даній рівності зміст інтегрального виразу залежить від концепції узагальнених функцій, що використовується і рівність може не справджуватися в нулі.
Функцію Гевісайда можна також визначити і для дискретного аргументу n:
де n — ціле число.
Дискретний одиничний імпульс тоді є першою різницею дискретної функції Гевісайда:
і виконується рівність:
Для наближення функції Гевісайда гладкими функціями можна використати логістичні функції:
Якщо прийняти H(0) = ½, виконується рівність:
Існують і інші наближення, зокрема:
Функція Гевісайда може бути подана за допомогою наступного інтегрального представлення:
Серед найпоширеніших значень функції в нулі використовуються H(0) = 0, H(0) = ½ або H(0) = 1. H(0) = ½ є одним з найпоширеніших варіантів оскільки тоді виконується:
Іноді також використовується загальний запис:
Первісною функцією для функції Гевісайда є: (ReLU) де за визначенням:
Похідною функції Гевісайда є дельта-функція Дірака:
Ця функція використовувалася ще до появи її зручного позначення. Наприклад Гульєльмо Лібрі[en] в 1830-х роках опублікував декілька робіт[1][2] присвячених функції . На його думку, дорівнює 0, якщо ; 1, якщо (див. Нуль в нульовому степені); або , якщо . Таким чином Лібрі робить висновок, що дорівнює 1, якщо , і 0 в іншому випадку. Користуючись нотацією Айверсона це можна було б записати, як
Однак такої нотації в той час не було, і Лібрі вважав досягненням, що цю функцію можна виразити через стандартні математичні операції. Він використовував цю функцію, для вираження абсолютної величини (позначення тоді ще не було, воно було введене пізніше Вейєрштрассом) і індикатора таких умов як , і навіть « є дільником »[3].
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.