Loading AI tools
поняття в теорії графів З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Фактор графа G — це кістяковий підграф, тобто підграф, що має ті ж вершини, що й граф G. k-Фактор графа — це кістяковий k-регулярний підграф, а k-факторизація розбиває ребра графа на неперетинні k-фактори. Кажуть, що граф G k-факторизований, якщо він дозволяє k-розбиття. Зокрема, множина ребер 1-фактора — це досконале парування, а 1-розклад k-регулярного графа — це реберне розфарбування k кольорами. 2-фактор — це набір циклів, які покривають усі вершини графа.
Якщо граф 1-факторизований (тобто має 1-факторизацію), він має бути регулярним графом. Проте не всі регулярні графи є 1-факторизованими. k-Регулярний граф є 1-факторизованим, якщо його хроматичний індекс дорівнює k. Приклади таких графів:
Однак є k-регулярні графи, хроматичний індекс яких дорівнює k + 1, і ці графи не 1-факторизовані. Приклади таких графів:
1-факторизація повного графа відповідає розбиттю на пари в кругових турнірах. 1-факторизація повних графів є окремим випадком теореми Бараньяї про 1-факторизацію повних гіперграфів.
За одного зі способів побудови 1-факторизації повного графа всі вершини, крім однієї, поміщають на колі, утворюючи правильний многокутник, а вершину, що залишилася, поміщають у центр кола. За такого розташування вершин процес побудови 1-фактора полягає у виборі ребра e, що з'єднує центральну вершину з однією з вершин на колі, потім вибирають усі ребра, перпендикулярні до ребра e. 1-фактори, побудовані в такий спосіб, утворюють 1-факторизацію графа.
Число різних 1-факторизацій дорівнює 1, 1, 6, 6240, 1225566720, 252282619805368320, 98758655816833727741338583040, … (послідовність A000438 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).
Нехай G — k-регулярний граф з 2 n вершинами. Якщо k досить велике, відомо, що G має бути 1-факторизованим:
Гіпотеза про 1-факторизацію[4] є давно висунутою гіпотезою, яка стверджує, що значення достатньо велике. Точне формулювання:
Гіпотеза сильного заповнення[en] включавє гіпотезу про 1-факторизацію.
Досконала пара 1-факторизацій — це пара 1-факторів, об'єднання яких дає гамільтонів цикл.
Досконала 1-факторизація (P1F) графа — це 1-факторизація, яка має властивість, що будь-яка пара 1-факторів є досконалою парою. Досконалу 1-факторизацію не слід плутати з досконалим паруванням (яке також називають 1-фактором).
1964 року Антон Котціг[en] висловив припущення, що будь-який повний граф , де має досконалу 1-факторизацію. Відомо, що такі графи мають досконалі 1-факторизації[5]:
Якщо повний граф має досконалу 1-факторизацію, то повний двочастковий граф також має досконалу 1-факторизацію[6].
Якщо граф 2-факторизований, він має бути 2k-регулярним для деякого цілого k. 1891 року Юліус Петерсен показав, що ця необхідна умова є також достатньою — будь-який 2k-регулярний граф є 2-факторизованим[7].
Якщо зв'язкний граф є 2 k-регулярним і має парне число ребер, він також може бути k-факторизованим вибором двох факторів, які складаються з почергових ребер ейлерового циклу[8]. Це стосується лише зв'язкних графів, незв'язні контрприклади містять незв'язне об'єднання непарних циклів або копій графа K2k+1 .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.