Теорема Піка
З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
Щодо відповідної теореми в комплексномі аналізі див. Теорема Піка (комплексний аналіз).
Якщо розглянути простий многокутник, побудований на сітці рівновіддалених точок (тобто точок з цілими координатами), так, що всі вершини многокутника є точками сітки, теорема Піка дає просту формулу для обчислення площі цього многокутника, за кількістю (точок решітки усередині фігури) і кількістю (точок решітки), розміщених по периметру многокутника:[1]
У наведеному прикладі маємо i = 7 (внутрішніх точок) і b = 8 (граничних точок), так що площа = 7 + 8/2 − 1 = 7 + 4 − 1 = 10 квадратних одиниць.
Вищенаведена теорема справедлива лише для простих многокутників, тобто для тих, які складаються з єдиної межі, без перетинів і дірок. Для загального многокутника формула Піка має такий вигляд:[2][3]
- ,
де — кількість вершин всередині і на межі многокутника, — кількість точок решітки на межі многокутника, і — кількість дірок у многокутнику.
Як приклад розглянемо многокутник, побудований за допомогою точок . Він має 3 вершини, 0 отворів і 0 область. Щоб формула працювала, повинно бути 4 ребра. Таким чином, треба просто порахувати кожен край двічі, один раз на кожній стороні.[джерело?]
Результат вперше описав Георг Александр Пік в 1899.[4] Тетраедр Ріва демонструє, що немає аналогу теореми Піка в розмірності три, яка виражає об'єм многогранника через кількість внутрішніх і граничних точок. Однак є узагальнення для вищих розмірностей через многочлени Ергарта.