Супереліпс (крива Ламе) — плоска крива , що у декартових координатах описується рівнянням:
|
x
a
|
n
+
|
y
b
|
n
=
1
,
{\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,}
Супереліпси (криві Ламе)
Коротка інформація Названо на честь, Формула ...
Закрити
де
n
>
0
{\displaystyle n>0}
;
a
{\displaystyle a}
і
b
{\displaystyle b}
— радіуси (півосі) супереліпса.
Для випадку n = 2 отримуємо еліпс (у частковому випадку, при a = b — коло), а при
n
=
1
{\displaystyle n=1}
— ромб з діагоналями
2
a
{\displaystyle 2a}
та
2
b
{\displaystyle 2b}
. Коли збільшувати
n
{\displaystyle n}
до нескінченості, крива прямує за формою до прямокутника ; натомість коли
n
{\displaystyle n}
прямує до нуля, крива набуває хрестоподібної форми.
Фігури, що отримані для n < 2 ще називають «гіпоеліпс», а для n > 2 — «гіпереліпс».
Супереліпс може бути описаний парою рівнянь в параметричній формі:
x
(
θ
)
=
±
a
cos
2
n
θ
y
(
θ
)
=
±
b
sin
2
n
θ
}
0
≤
θ
<
π
2
{\displaystyle \left.{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \\y\left(\theta \right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}\theta \end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}}
або
x
(
θ
)
=
|
cos
θ
|
2
n
⋅
a
sgn
(
cos
θ
)
y
(
θ
)
=
|
sin
θ
|
2
n
⋅
b
sgn
(
sin
θ
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|{\cos \theta }|}^{\frac {2}{n}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|{\sin \theta }|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin \theta ).\end{aligned}}}
Площа супереліпса виражається формулою
S
=
4
a
b
(
Γ
(
1
+
1
n
)
)
2
Γ
(
1
+
2
n
)
.
{\displaystyle S=4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}}.}