Правильний сімнадцятикутник— геометрична фігура, що належить до групи правильних многокутників. Має сімнадцять сторін і сімнадцять кутів. Усі кути і сторони правильного сімнадцятикутника рівні між собою, всі вершини лежать на одному колі.
Коротка інформація Дуальний до, Грань політопа ...
Відношення довжини сторони до радіусу описаного кола складає
.
Правильний сімнадцятикутник можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки, що було доведено Карлом Фрідріхом Гаусом 1796 року. Ним же знайдено значення косинуса центрального кута сімнадцятикутника:
.
Гаус був настільки піднесений своїм відкриттям, що в кінці життя заповів, щоб правильний сімнадцятикутник викарбували на його могилі. Скульптор відмовився це зробити, стверджуючи, що побудова буде настільки складною, що результат не можна буде відрізнити від кола[1].
1825 року Йоханес Ерхінгер уперше опублікував детальний опис побудови правильного сімнадцятикутника за 64 кроки. Нижче наводиться ця побудова.
Точна побудова
Проводимо велике коло k₁ (майбутнє описане коло сімнадцятикутника) з центром O.
Проводимо його діаметр AB.
Будуємо до нього перпендикуляр m, перетинаючий k₁ у точках C та D.
Відмічаємо точку E— середину DO.
Посередині EO відмічаємо точку F та проводимо відрізок FA.
Будуємо бісектрису w₁ кута ∠OFA.
Будуємо w₂— бісектрису кута між m та w₁, яка перетинає AB у точці G.
Проводимио s— перпендикуляр до w₂ з точки F.
Будуємо w₃— бісектрису кута між s та w₂. Вона перетинає AB у точці H.
Будуємо коло Фалеса (k₂) на діаметрі HA. Воно перетинається з CD у точках J та K.
Проводимо коло k₃ з центром G через точки J та K. Воно перетинається з AB у точках L та N. Тут важливо не переплутати N з M, вони розташовані дуже близько.
Будуємо дотичну до k₃ через N.
Точки перетину цієї дотичної до вихідного кола k₁— це точки P₃ та P₁₄ шуканого сімнадцятикутника. Якщо прийняти середину отриманої дуги за P₀ та відкласти дугу P₀P₁₄ по колу тричі, усі вершини сімнадцятикутника будуть побудовані.
Приблизна побудова
Наступна побудова хоч і наближена, але набагато зручніша.
Ставимо на площині точку M, будуємо навколо неї коло k та проводимо її діаметр AB;
Ділимо навпіл радіус AM тричі по черзі в напрямку до центру (точки C, D та E).
Ділимо навпіл відрізок EB (точка F).
Будуємо перпендикуляр до AB у точці F.
Коротко: будуємо перпендикуляр до діаметра на відстані 9/16 діаметра від B.
Точки перетину останнього перпендикуляра перпендикуляра з колом ї гарним наближенням для точок P₃ та P₁₄.
При цій побудові виходить відносна похибка у 0,83%. Кути та сторони виходять таким чином трохи більші, ніж потрібно. При радіусі 332,4мм сторона виходить довшою на 1мм.
Анімована побудова Ерхінгера
Побудова сімнадцятикутника циркулем і лінійкою за 64 кроки
Karin Reich: Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). В кн.: Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm. Hrsg. von Rüdiger Thiele, Berlin, Diepholz 2000, стр. 101–118.