П'ятикутне число
З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
П'ятикутне число — це «фігурне число», яке розширює поняття трикутних і квадратних чисел до п'ятикутника, але, на відміну від перших двох, закономірності, що беруть участь у побудові п'ятикутних чисел, не обертально симетричні.
-е п'ятикутне число — це кількість різних точок у шаблоні точок, що складається з контурів правильних п'ятикутників зі сторонами до точок, коли п'ятикутники перекриваються так, що вони мають одну спільну вершину. Наприклад, третє п'ятикутне число утворюється з контурів, що містять 1, 5 і 10 точок, але перша точка та три з п'яти точок збігаються з трьома точками з десяти — залишаючи 12 різних точок, 10 у вигляді п'ятикутника і 2 всередині.
задається формулою:
для . Першими п'ятикутними числами є
1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187…
(див. послідовність A000326 в OEIS).
-е п'ятикутне число — це одна третя -го трикутного числа.
Узагальнені п'ятикутні числа отримують із наведеної вище формули, але з :
0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335,..
(див. послідовність A001318 в OEIS).
Узагальнені п'ятикутні числа мають важливе значення для теорії Ейлера про розбиття, як це показано в його [[:en:Pentagonal number theorem}|теоремі про п'ятикутне число]]. Кількість точок всередині самого зовнішнього контору п'ятикутника, що утворює п'ятикутне число, само по собі є узагальненим п'ятикутним числом.
П'ятикутні числа не слід плутати з центрованими п'ятикутними числами .