Надграфік

Надгра́фік або суперграф — множина точок, що лежить над графіком цієї функції.

Вивчання неперервних дійснозначних функцій у аналізі функцій дійсної змінної традиційно було тісно пов'язане з вивчанням їхніх графіків — множин, що надають геометричну інформацію (і чуйку) про ці функції.^[1] Надграфіки слугують тій самій меті в галузі опуклого і варіаційного^[en] аналізів, які зосереджені на опуклих функціях на проміжку ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ замість неперервних функцій у векторному просторі (як-от ${\displaystyle \mathbb {R} }$ або ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$).^[1] Це відбувається завдяки тому, що для таких функцій, геометричне чуття легше отримати з надграфіка функції ніж з її графіка.^[1] Подібно до того, як графіки використовують у аналізі функцій дійсної змінної, надграфік часто можна використати, щоб дати геометричне тлумачення властивостям опуклої функції, щоб сформулювати і довести гіпотези або, щоб допомогти спорудити контрприклади.

Означення

Функція (її графік позначений синім) і її надграфік (позначений зеленим)

Нехай дана функція ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} .}$ Її надграфіком називається множина

${\displaystyle \operatorname {epi} f\equiv {\bigl \{}(x,y)\in M\times \mathbb {R} \mid y\geq f(x){\bigr \}}.}$

Зауваження

Надграфік, очевидно, містить в собі графік функції ${\displaystyle f}$, тобто ${\displaystyle \operatorname {epi} f\supset \Gamma ,}$ де

${\displaystyle \Gamma \equiv \left\{{\bigl (}x,f(x){\bigr )}\in M\times \mathbb {R} \mid x\in M\right\}.}$

Властивості

• Надграфік функції це опукла множина тоді і тільки тоді, коли функція опукла.
• Надграфік функції це замкнена множина тоді і тільки тоді, коли функція напівнеперервна знизу.

Примітки

1. Rockafellar та Wets, 2009, с. 1—37.

Джерела

• Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis [Варіаційний аналіз]. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Т. 317. Berlin New York: Springer Science+Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.