Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Інтерполяцій́ний многочле́н Лагра́нжа — многочлен мінімального степеня, що приймає дані значення у даному наборі точок. Для пар чисел , де всі різні, існує єдиний многочлен степеня не більшого від , для якого .
У найпростішому випадку - це лінійний многочлен, графік якого — пряма, що проходить через дві задані точки.
Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів:
де базисні поліноми визначаються за формулою:
Очевидно, що мають такі властивості:
Звідси випливає, що , як лінійна комбінація , може мати степінь не більший від , та .
Поліноми Лагранжа використовуються для інтерполяції, а також для чисельного інтегрування.
Нехай для функції відомі значення у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як
Зокрема,
Значення інтегралів від не залежать від , тож їх можна обчислювати заздалегідь, знаючи послідовність .
У вказаному випадку можна виразити через відстань між вузлами інтерполяції h та початкову точку :
і, як наслідок,
Якщо підставити ці вирази у формулу базисного полінома та винести h за знаки множення у чисельнику та знаменнику, отримаємо
Після цього можна ввести заміну змінної
і отримати поліном від у, який будується з використанням лише цілочисленної арифметики. Недоліком цього підходу є факторіальна складність чисельника та знаменника, що вимагає використання алгоритмів з багатобайтним представленням чисел.
Ми бажаємо інтерполювати ƒ(x) = x2 на діапазоні 1 ≤ x ≤ 3, із відомими трьома точками:
Інтерполяційний многочлен такий:
Ми бажаємо інтерполювати ƒ(x) = x3 на діапазоні 1 ≤ x ≤ 3, із відомими трьома точками:
Інтерполяційний многочлен такий:
Як видно з побудови, кожен раз коли вузол змінюється, всі базові многочлени Лагранжа необхідно перерахувати. Найкращим варіантом інтерполяційного многочлена для практичних (або обчислювальних) цілей є барицентрична форма інтерполяції Лагранжа або поліном Ньютона.
Лагранжева та інші інтерполяції із рівновіддаленими точками, як у прикладах згори, породжують многочлен, що коливається навколо справжньої функції. Ця поведінка сильніше себе виявляє у випадку більшої кількості заданих точок, призводячи до розбіжності відомої як феномен Рунге; проблему можна усунути обравши для інтерполяції вузли Чебишова.
Базові многочлени Лагранжа можна використати у чисельному інтегруванні для виведення формул Ньютона—Котеса.
TYPE Point=RECORD x,y:REAL END;
PROCEDURE PolynomLagrange(p:ARRAY OF Point;x:REAL):REAL;
VAR c,s:REAL;
i,j:INTEGER;
BEGIN
s:=0;
FOR i:=0 TO LEN(p)-1 DO
c := 1;
FOR j:=0 TO LEN(p)-1 DO
IF i#j THEN c:=c*(x-p[j].x)/(p[i].x-p[j].x)END
END;
s:=s+c*y[i]
END;
RETURN s
END PolynomLagrange;
double L_BI_MI(double x)
{
double r = 0, ra, rb;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
ra = rb = 1;
for (int j = 0; j < n; j++)
if (i != j)
{
ra *= x - x_[j]; //(x_[i],y_[i]) - інтерполяційні вузли
rb *= x_[i] - x_[j];
}
r += ra * y_[i] / rb;
}
return r;
}
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.