Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Метод матриць переходу — метод розрахунку проходження хвиль через багатошарові середовища[1], що дозволяє, зокрема, звести обчислення коефіцієнтів проходження та відбиття до простого множення матриць. Метод застосовується в оптиці, акустиці, квантовій механіці, при аналізі розсіяння нейтронів тощо. Наприклад, в оптиці його можна використати для розрахунків просвітленої оптики та діелектричних дзеркал.
В межах окремого шару багатошарової структури розв'язок хвильового рівняння можна записати у вигляді суперпозиції хвиль, що розповсюджуються в різні сторони
де та — невідомі коефіцієнти, що визначаються з граничних умов, а — хвильове число.
Нехай граничні умови на межі між шаром n та шаром n+1 для функції є неперервність самої функції та її похідної:
Тут — ширина n-го шару.
Вводячи вектор
ці граничні умови можна записати
де
Тоді
Усі властивості n-го шару (хвильове число, що визначається законом дисперсії для хвилі в шарі та товщина шару) зосереджені в матриці , яку називають матрицею переходу, матрицею трансляції, трансфер-матрицею.
Для розглянутої задачі трансфер-матриця дорівнює
Трансфер-матриця багатошарової системи визначається добутком матриць переносу окремих шарів:
Для визначення амплітуд відбитої хвилі та хвилі, що пройшла через систему, можна записати
де індекси L та R позначають крайнє ліве напівнескінченне середовище, з якого хвиля надходить, та крайнє праве напівнескінченне середовище, куди хвиля проходить. Відповідно,
Отже,
Звідси, амплітуда хвилі, що пройшла через багатошарову систему, дорівнює
а амплітуда відбитої хвилі
Коефіцієнти проходження та відбиття визначаються квадратами модулів цих величин
В загальному випадку матеріали шарів можуть поглинати хвилі, і тоді хвильові числа — комплексні. Це не обмежує використання методу. Коефіцієнт поглинання дорівнює:
В оптиці вирази для трансфер матриці шару мають різний вигляд у залежності від поляризації електромагнітної хвилі. При нормальному падінні світла на межу розділу електромагнітна хвиля має s-поляризацію. Тоді хвильові числа визначаються законом дисперсії
де — циклічна частота, — швидкість світла, а — діелектрична проникність шару. Граничними умовами для s-поляризації є неперервність тангенціальної компоненти напруженості електричного поля хвилі та нормальної компоненти вектора магнітної індукції, що пропорційний похідній від танггенціальної компоненти напруженості електричного поля, а тому матриці переходу мають вигляд, аналогічний викладеному в попередньому параграфі.
При похилому падінні крім s-поляризації існує ще p-поляризація. Ці два випадки вимагають окремого розгляду. Для обох поляризацій хвильове число визначається як
де - однакова для всіх шарів компонента хвильового вектора, паралельна поверхні розділу.
Для p-поляризації граничними умовами є неперервність тангенціальної компоненти напруженості магнітного поля хвилі та нормальної компоненти вектора електричної індукції, тому в граничні умови входять діелектричні проникності шарів.
Матриця набирає вигляду:
а трансфер-матриця шару:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.