Лампочка Мандельброта — тривимірний фрактал , аналог множини Мандельброта , створений Деніелом Вайтом та Полом Ніландером , з використанням гіперкомплесної алгебри що базується на сферичних координатах .[1]
Зображення лампочки Мандельброта отримане за допомогою трасування променів .
Ітерація
z
↦
z
8
+
c
{\displaystyle z\mapsto z^{8}+c}
.
Формула для n -того степеня тривимірного гіперкомплексного числа
⟨
x
,
y
,
z
⟩
{\displaystyle \langle x,y,z\rangle }
така:
⟨
x
,
y
,
z
⟩
n
=
r
n
⟨
cos
(
n
θ
)
cos
(
n
ϕ
)
,
sin
(
n
θ
)
cos
(
n
ϕ
)
,
sin
(
n
ϕ
)
⟩
{\displaystyle \langle x,y,z\rangle ^{n}=r^{n}\langle \cos(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\phi )\rangle }
де
r
=
x
2
+
y
2
+
z
2
θ
=
arctan
(
y
/
x
)
a
n
d
ϕ
=
arctan
(
z
/
x
2
+
y
2
)
=
arcsin
(
z
/
r
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan(y/x)\\{\rm {and\ }}\phi &=\arctan(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}})=\arcsin(z/r).\end{aligned}}}
Вони використали ітерацію
z
↦
z
n
+
c
{\displaystyle z\mapsto z^{n}+c}
, де z та c — тривимірні гіперкомплексні числа, на яких операція піднесення до натурального степеня виконується як вказано вище.[2] Для n > 3, результатом є тривимірний фрактал. Найчастіше використовують восьмий степінь.