Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Випадкове блукання — математичний формалізм, що описує траєкторію, яка утворюється при здійсненні послідовних випадкових кроків.
Найчастіше розглядаються випадкові блукання, які є ланцюгами Маркова, хоча існують і більш складні види блукань. Деякі випадкові блукання здійснюються на графах, інші — на прямій, на площині або у більш високих розмірностях, тоді як деякі блукання здійснюються на групах. Випадкові блукання також розрізняються у відношенні до часового параметра. Найчастіше блукання відбувається у дискретному часі та індексується натуральними числами . Однак деякі блукання здійснюють кроки у випадкові моменти часу, і в такому випадку координата визначена на неперервному промені .
Одновимірне дискретне випадкове блукання — це випадковий процес з дискретним часом, який має вигляд: , де
Одномірне дискретне випадкове блукання є ланцюгом Маркова з цілими станами, чий початковий розподіл задається функцією ймовірності випадкової величини, а матриця перехідних ймовірностей має вигляд
тобто
Розглянемо випадкове блукання , де .
Центральна гранична теорема стверджує, що за розподілом
Однак, у разі випадкових блукань, це твердження можна значно підсилити.
Побудуємо за випадковий процес , визначивши його так: , а при інших t ми довизначимо процес лінійним продовженням:
З центральної граничної теореми за розподілом
Це означає збіжність одновимірних розподілів процесу до одновимірних розподілів вінерівського процесу. Теорема Донскера, звана також принципом інваріантності, стверджує, що має місце слабка збіжність процесів,
Слабка збіжність процесів означає збіжність неперервних за вінерівською мірою функціоналів, тобто дозволяє розраховувати значення функціоналів від броунівського руху (наприклад максимуму, мінімуму, останнього нуля, моменту першого досягнення рівня та інших) граничним переходом від простого випадкового блукання.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.