Алгебра з діленням

Алгебра з діленням — алгебра в якій можливе ділення. В такій алгебрі не існує дільників нуля.

Визначення

Алгебра ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ над полем A називається алгеброю з діленням, якщо

${\displaystyle \forall a,b(b\neq 0)\in A,\;\;\exists$ !\;x,y:\;\;a=bx,\;\;a=yb.}

Для асоціативних алгебр визначення може бути спрощене до:

асоціативна алгебра є алгеброю з діленням тоді і тільки тоді коли 1≠0 і для кожного елемента існує його обернений елемент відносно множення (існує x такий що ax = xa = 1).

Теорема Фробеніуса стверджує що асоціативних алгебр з діленням всього 3.

Див. також

• Теорема Фробеніуса
• Нормована алгебра з діленням

Джерела

• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)